CHAPITRE VI
Si le nombre des parties est indéOni, l'aTtoUKe da Joueur le plus riche serait infloi si sa fortune ponrait i'étre : c'est pour cela que c'est courir à une mine certaine que do Jouer indifféremment arec tous ceux qui
se rencontrent.
Ampèsb.
81. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu équitable, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas. — 82. Lorsque deux joueurs luttent indéfiniment, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit finir par se ruiner. — 83. Calcul numérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre possédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur probable du nombre des parties est infinie. Il n'y a pas contradiction. — 88. Démonstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — 92. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et exposent la même mise. — 95. Probabilité pour qu'un joueur qui joue indéfiniment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avantage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisément après un nombre donné de coups. - 99. Valeur approchée de la probabilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au jx'*"" coup. — 101. Valeur maxima de la probabilité. — 102. Valeur maxima de la valeur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — lOi. Cas où le jeu n'est pas équitable. Théorème de M. Rouché. — 105. Évidence apparente du théorème. — 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en commençant le jeu. — 109. Cas où deux joueurs luttant l'un contre l'autre peuvent Tun et l'autre être ruinés. Insuffisance d'un raison-
nement qui semble fort simple. — 110. Cas où Pierre et Paul possèdent chacun 2''. — 111. Cas où ils possèdent 3''. — 112. Cas général. — 113. Examen d'une combinaison proposée pour accroître les chances de gain.
81. Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.
Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.
Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.
La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a l'espoir de la doubler.
Cela n'est pas douteux^ mais, quand la fortune est doublée, le théorème s'y applique avec la même certitude : elle peut doubler encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la fois par un caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait^ la probabilité augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude. C'est cette progression extrêmement lente, il faut le déclarer tout d'abord, à l'étude de laquelle est consacré ce Chapitre.
82. Lorsque deux joueurs luttent constamment l'un contre l'autre, quelles que soient leurs fortunes et les conditions, équitables ou non, du jeu qu'ils renouvellent sans cesse, l'un des deux finira par ruiner l'autre ; la probabilité pour qu'ils puissent faire un nombre donné de parties tend vers zéro quand ce nombre augmente.
Lorsque deux joueurs, en effet, font un grand nombre de parties, la probabilité de la répartition la plus probable entre les parties gagnées et perdues par l'un d'eux tend vers zéro quand le nombre des parties augmente. Elle est (S7) inversement proportionnelle à la racine carrée du nombre des parties.
Si la probabilité de la combinaison la plus probable tend vers zéro, il en est de même, à plus forte raison, de toute autre combinaison désignée et, par conséquent, aussi d'un ensemble de combinaisons quel qu'il soit, dont le nombre ne croîtrait pas indéfiniment avec le nombre des parties.
Io6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Quelles que soient les mises des deux joueurs, on peut assigner une répartition des pertes et des gains, telle que la compensation soit parfaite et que chaque joueur, à la fin, se retrouve avec sa fortune primitive. Si, prenant pour point de départ ce mode de répartition, on accroît le nombre des parties gagnées par Tun des joueurs, le gain sera pour lui, pour chaque partie gagnée de plus, et par conséquent pour chaque partie perdue de moins, égal à la somme des deux mises, et tout écart de cette répartition qui équilibre les pertes et les gains ruinera l'un ou Fautre joueur, si, multiplié par la somme des mises, il donne un produit plus grand que la fortune du plus riche.
En caractérisant les combinaisons par le nombre total des parties gagnées par Tun des joueurs, le nombre de celles qui, ne ruinant aucun des deux joueurs, permettent la continuation du jeu est donc indépendant du nombre des parties jouées, et la probabilité pour que Tune ou l'autre de ces combinaisons se produise tend vers zéro quand le nombre des parties augmente.
83. Supposons, par exemple, que l'on joue à pile ou face, l'enjeu étant i'*" la partie. Si le nombre des arrivées de pile est égal à celui des arrivées de face, il n'y aura ni perte ni gain.
Cherchons combien il faut faire de parties pour que la probabilité d'une perte de i oo ooo^'^pour l'un des joueurs soit égale à 0,999.
Pour que, en jouant i^''la partie, l'un des joueurs perde 1 00 coo^*", il faut que l'écart, dans un sens ou dans l'autre, soit plus grand que 5o 000.
On entend par écart, il n'est pas inutile peut-être de le rappeler, la différence entre le nombre des parties gagnées et le nombre relatif à la combinaison qui rend les pertes nulles. Cette combinaison correspond, dans le cas actuel, à l'égalité des pertes et des gains.
Si jji est le nombre des parties jouées, la probabilité de la combinaison la plus probable est (57)
CBAP. Vï. — LA RUINE DES JOUEURS. IO7
et, dans le cas actuel, puisque /? et q sont égaux à \,
La probabilité pour que le hasard amène une des loo ooo combinaisons pour lesquelles la perte est inférieure à looooo*^^ est plus petite que
v/îF
Si donc on a
il) 7=^< y
la probabilité d'une perte moindre que looooo^*^ sera plus petite que 1-5^ et, par conséquent, celle d'une perte plus grande surpassera 0,999.
L'inégalité (i) donne
ir
7 millions de milliards de parties suffiraient pour donner la probabilité demandée.
Si deux joueurs pouvaient faire ce nombre immense de parties, il y aurait pour chacun d'eux probabilité presque égale à ^ de perdre plus de lOO ooo*^** et probabilité égale de les gagner.
Cette évaluation numérique pourra rassurer ceux que la certitude de ruine effrayerait plus qu'il ne faut.
La probabilité d'un écart reste la même (58), lorsque l'écart diminue ou augmente proportionnellement à la racine carrée du nombre des parties. Si Ton divise le nombre des parties par i million, en les réduisant à 7 milliards» la somme dont la perte par l'un des joueurs aura 999 chances sur 1000 sera réduite à loo^*^.
La méthode précédente ne donne qu'une limite. Le calcul exact est facile.
La probabilité pour qu'en jouant à un jeu équitable, les mises étant a et h et les probabilités de gagner à chaque partie/? et 9, la somme perdue ou gagnée soit inférieure à une limite S a été donnée (72); elle est
yJT.J^ \Xa-\-h)}J%\xpq\
en la retranchant de Funité, on aura la probabilité pour que la perte de Tun des joueurs soit plus grande que S. On trouve dans la Table
Si Ton pose
on en déduira le nombre [a des parties nécessaires pour que la probabilité d'une perte supérieure à S soit égale à ~. Soient
on trouvera
looooS* ^ ,c« {X = -, = 62,4 s».
Si Ton suppose S = 100 000, on aura
{JL = 624 000 millions.
En prenant S = 100, on a
jjL = 624 000.
H faut faire (î 14 000 parties à 1^' pour que la probabilité de perdre ou de gagner 100^' soit égale à -,^.
81. Les chiffres précédents, donnés sans commenuire, ferjLiont naître une idée tri*s fausse sur les chances de ruine.
Nous supposons le nombre des parties convenu à l'avance. On
CHAP. Vï. — LÀ RUINE DES JOUEURS. ' lOQ
réglera à la fin : telle a été notre hypothèse. La chance de perle n'a rien alors de bien effrayant, il y a une chance sur dix pour qu'après 624 000 parties jouées tout se réduise à une perte infé-
rieure à loo**".
La chance de ruine que nous voulons étudier est bien différente. On doit à chaque partie déposer la mise; si donc, à un certain moment, la perte du joueur dépasse sa fortune, il ne sera pas admis à continuer et perdra toute chance de se relever. La probabilité qu'il faut connaître n'est pas celle de la perle finale, mais celle de la perte maximum à l'un des instants de la série de parties.
80. Le problème peut être posé de deux manières. On peut considérer deux joueurs jouant l'un contre Tautre à des conditions données, et chercher les chances de ruine pour chacun d'eux et les probabilités relatives à la durée du jeu, c'est-à-dire au nombre des parties jouées avant la ruine de l'un d'eux. On peut, et c'est une étude très différente, étudier le sort du 2>remier joueur sans se préoccuper du second, supposer qu'il change d'adversaire, qu'il en trouve toujours un disposé à jouer aux mêmes conditions; ou, ce qui revient au même, que celui contre lequel il entreprend la lutte ait une fortune infinie.
Dans le premier cas, nous l'avons vu (82), le jeu doit finir tôt ou tard par la ruine de l'un des joueurs. La probabilité pour que le nombre des parties nécessaires atteigne une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente.
Dans le second cas, quand un seul des deux joueurs peut être ruiné, la ruine est également certaine si le jeu est équitable; la probabilité pour que le nombre des parties dépasse toute limite est infiniment petite.
On peut le démontrer sans calcul. Supposons que Pierre possède m francs et qu'il ait résolu de risquer une même somme à un jeu équitable, tant qu'il pourra déposer sa mise.
Nous pouvons supposer qu'une première lutte s'établisse entre Pierre et un adversaire de fortune égale. Le jeu est équitable.
Pierre a chance ^ de sortir vainqueur de cette lutte : il possédera alors 2 m francs. Supposons-lui alors uiji second adversaire possédant comme lui 2 m francs, Pierre a chance ~ d'être ruiné par lui, mais chance ^ aussi de le ruiner et de posséder 4 fn francs.
Pierre luttera alors contre un adversaire possédant 4^ francs, et il aura chance |, en le ruinant, d'en posséder 8m. La série est indéfinie. On voit que, pour échapper à toutes les chances de ruine, Pierre devrait avoir autant de bonheur que si, jouant sans cesse à pile ou face, il ne perdait jamais une seule partie. Une telle persistance doit être évidemment considérée comme impossible et Pierre, tôt ou tard, se ruinera.
L'assimilation avec le jeu de pile ou face est évidente. Pour en eflacer toute différence, il faut supposer aux parties de pile ou face des durées croissantes. Si Tune d'elles ne finissait pas, ia démonstration perdrait toute sa force. Un tel hasard (82) doit être tenu pour impossible.
86. La démonstration précédente, en montrant la ruine du joueur inévitable, n'apprend rien sur les probabilités relatives au nombre départies qui doivent l'amener. Nous pouvons, dès à présent, démontrer que la valeur probable de ce nombre de parties est infinie. La contradiction semble choquante.
La ruine est certaine, dit-on, et la valeur probable du nombre des parties qui la procurent est infinie. Si le nombre des parties est infini on ne pourra pas les jouer, la ruine ne s'accomplira pas : elle n'est donc pas certaine.
La ruine est certaine. Il ne faut pas confondre le nombre des parties qui, vraisemblablement, seront jouées avec le nombre probable des parties ; il faut surtout ne pas oublier ce que nous entendons par certitude. Quand on dit la ruine est certaine, tôt ou tard, on n'entend pas affirmer qu'après un nombre de parties, si grand qu'il soit, la ruine est assurée comme un théorème de Géométrie. S'il en était ainsi, le nombre probable des parties ne pourrait pas, évidemment, surpasser et serait certainement très loin d'égaler celte limite infranchissable.
CHAP. VI. — LA. RUINE DES JOtEURS. III
La ruine est certaine, cela veut dire : la probabilité pour que le nombre des parties qui s'accompliront surpasse une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente.
La valeur probable du nombre de parties est infinie, cela veut dire : l'espérance mathématique de celui qui doit recevoir autant de francs qu'on jouera de parties est infînie.
Les propositions ainsi comprises ne sont nullement contradictoires.
Supposons que Pierre, se mettant au jeu avec i**" seulement, c'est le cas le plus défavorable, soit décidé à jouer, sans interruption, jusqu'à ce que ce franc soit perdu. La probabilité pour qu'il le perde, tôt ou tard, est une certitude; mais, quelle que soit la limite qu'on voudra assigner, il y a possibilité pour que le nombre des parties jouées la surpasse. La probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro quand la limite augmente. En disant que le nombre des parties ne peut pas être infini, on ne veut pas dire autre chose.
Si l'on promet à Paul i*^^ par partie que jouera Pierre avant d'avoir perdu le franc qu'il possède en entrant au jeu, l'espérance mathématique de Paul est, par définition, le nombre probable des parties. Il faudra, pour la calculer, multiplier chaque nombre possible par la probabilité correspondante. Or les nombres possibles vont à l'infini; il n'y a rien de contradictoire à annoncer qu'en les multipliant par des probabilités de plus en plus petites qui, suivant notre façon de parler, expriment des impossibilités, la somme des produits augmente sans limite.
Le résultat est analogue au paradoxe de Saint-Pétersbourg, dans lequel nous avons rencontré déjà une espérance mathématique rendue infinie par l'énormité des sommes dont la probabilité paraissait assez petite pour qu'on n'y attachât aucun prix.
87. Démontrons que la durée probable du jeu est infinie pour un joueur qui change d'adversaire et veut risquer la même mise, à an jeu équitable, tant qu'il aura possibilité de la mettre au jeu.
Considérons d'abord deux joueurs, Pierre et Paul, possédant
chacun 2m francs. Ils luttent à un jeu équitable jusqu'à la ruine de l'un d'eux. Soit ^(2 m) le nombre probable des parties qu'ils joueront, o{m) désignant, par la même notation, le nombre probable des parties quand les deux joueurs possèdent chacun m francs. La lutte entre Pierre et Paul pourra, sans que rien soit changé aux chances de chacun, commencer par deux épreuves distinctes. Paul, dans une première série de parties, risquera m francs contre m francs de Pierre, et dans une seconde série il exposera la seconde moitié de son avoir contre la seconde moitié de celui de Pierre.
Deux cas pourront se présenter : ou les deux luttes, quand elles seront terminées, auront le même vainqueur, qui aura ruiné son adversaire ; ou chacun gagnera l'une des deux séries, et les joueurs se retrouveront dans la situation primitive, possédant chacun 2 m francs.
On en conclut
{'à) ©(am) = 2cp( w) h — çp(2m).
Le nombre des parties se compose, en effet, des nombres de parties faites dans les deux séries, et dont chacune a pour valeur probable ç(/^i), et de plus, éventuellement, du nombre de celles qu'il faudra faire encore si, à la suite des deux séries, on se retrouve dans la situation primitive, ce dont la probabilité est ^.
L'équation (2) donne
Supposons maintenant que Pierre, possédant m francs, ait résolu de jouer sans limite contre tout adversaire qui se présentera. On peut régler son jeu de la manière suivante : il luttera d'abord contre un premier adversaire possédant comme lui m francs. S'il le ruine, il possédera 2m francs^ on lui opposera un second adversaire de fortune égale. S'il ruine le second, il possédera 4^^ francs et pourra lutter, à chances égales, contre un adversaire ayant comme lui 4^^ francs. Le jeu continuera jusqu'à la
CHÀP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. Il3
rencontre d'un adversaire qui, à ce jeu toujours égal, réussira à le ruiner.
On voit tout d'abord, comme on Ta remarqué déjà (85), que la ruine de Pierre est certaine; il ne pourrait l'éviter qu'en étant toujours favorisé par le hasard dans une série indéfinie d'épreuves pour chacune desquelles la probabilité est ~.
Le nombre probable des parties est, d'après l'analjse précédente,
Pierre, en effet, est certain de jouer la première série, pour laquelle le nombre probable des parties est ç (m): il a probabilité ^ de jouer le seconde : il suffit pour cela qu'il sorte vainqueur de la première; il a probabilité \ déjouer la troisième, car il suffit qu'il gagne les deux premières, etc. En ayant égard à la relation (3), la somme (4) devient
elle est infinie quel que soit ^{rn).
89. Les chances de ruine d'un joueur, à un jeu équitable, se calculent aisément lorsque, le nombre des parties étant fixé à l'avance, on doit les faire, quoi qu'il arrive, et régler les comptes à la fin.
p el q désignant les probabilités de perte et de gain à chacune des jx parties, la probabilité pour que le nombre des parties perdues surpasse \^q -^ hj c'est-à-dire pour que la perle surpasse le produit de h par la somme des mises, est
Si l'on pose
elle devient
'2 '^pq
»Vl{Xp/
.. I p-t*dt — — I
Jtz «/o V tt Jq
Il4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Le premier terme est égal à ^, le second tend vers zéro quand |JL augmente.
La probabilité pour qu'un joueur, après un nombre croissant de parties, fasse un gain supérieur à une somme donnée, tend vers ^, quelle que soit cette somme, quand le nombre des parties augmente sans limite.
La probabilité pour qu'il soit en perle d'une somme égale tend aussi vers ^, et la probabilité pour que la perte ou le gain restent, pour un nombre croissant de parties, inférieurs à un nombre donné tend vers zéro, quel que soit ce nombre. Le jeu, on ne doil pas l'oublier, est supposé équitable.
90. La probabilité d'une perte donnée pour un nombre donné de parties diminue rapidement quand la perte assignée est grande.
Supposons que l'on joue looo parties, p ei q étant l'un et l'autre égaux à ^. La probabilité pour l'un des joueurs de perdre un nombre de parties supérieur à 5oo-H/i, par conséquent d'être en perte de 2/w/i, m étant la mise, est
/lOOO
1 • r e-^'dt.
Le Tableau suivant donne la probabilité pour que le joueur qui possède 2/1 francs soit ruiné en jouant mille parties.
1 oh'/^ 8 0,307 15 0,172
5 0,377 ^2 0,225 19 o,ii5
0,353 13 0,206 20 o,io3
CHAP. Vi. — LA RUI»E DES JOUEURS. Il5
24 o,o65 34 0,016 4i o,oo3
2ri o,o58 3r) 0,014 45 o,oo3
2i> o,o34 39 0,007 40 o,ooî
