Le problème général peut s'énoncer comme il suit

Diverses causes E|, Ej, . . ., E,, ont pu produire un événement observé. Les probabilités de ces causes, lorsque le résultat n'était pas encore connu, étaient ïïT|, gt2, . . . , Wn- L'é^'énement se produit; la cause E/, lorsqu'on est certain que c'est elle qui agit, donne à l'événement la probabilité pi. Quelle est la probabilité de chacune des causes qui sont, on l'admet, les seules possibles?

Le type des problèmes dont nous parlons peut être représenté par une urne contenant des boules blanches et des boules noires. L'événement est la sortie d'une boule; elle est blanche, on le sait. Mais chaque boule est marquée par un des numéros i , 2, 3, . . . , /i* Quelle est la probabilité pour que la boule blanche sortie soit marquée d'un numéro donné? Ces numéros représentent ici ce que l'on nomme les causes possibles de Tévénement, sans avoir rien de commun, bien entendu, avec l'idée de causalité.

Si |Ji désigne le nombre total des boules, [jl/ le nombre de celles qui sont marquées / et, dans ces ;jl/, mi le nombre des boules

blanches, le nombre total des boules blanches est

ntx-h ni2-{- m^-T- . . .-\- m^.

Elles sont toutes également possibles, puisque, placées dans la même urne, chacune, considérée individuellement, a chance égale de sortie. La probabilité pour que la boule blanche que l'on a tirée et dont on n'a pas vu le numéro soit marquée d'un e est

mi -+- /Hf -+-... -h m^

Telle est la solution du problème. Il reste à l'exprimer en fonction des données. On a

par conséquent.

La probabilité est donc, en supprimant le iacteur [jl,

piwt

Pl^l-r- ptnjf-^. . .-i-pn^n

Le dénominateur est le même pour toutes les valeurs de i, et les probabilités des diverses causes sont proportionnelles, par conséquent, aux produits de la probabilité de chacune, avant l'événement (ro/), par la probabilité qu'elle donne à l'événement (pi) quand on la suppose certaine.