La démonstration peut se faire autrement
La probabilité cherchée est celle pour que l'événement qui est arrivé, on le sait, soit dû à la cause représentée par l'indice i.
La probabilité pour que, avant l'épreuve, l'événement en question se produisît et fût dû à la cause désignée est un événement composé, et cela de deux manières :
I® Il faut que la cause soit mise en jeu ;
2** Il faut qu'elle produise l'événement.
i '^ii CALCUL DES PROBABILITÉS.
()ià bien :
1^ 11 faut que révénement se produise;
2" Il faut que, étant produit, il soit dû à la cause désignée.
On en déduit deux expressions de la même probabilité
^iPi= (Pl^l-^ Pi^t-^' "-^Pn^n)^y
et, par conséquent, la probabilité x pour que Tévénement, étant produit, soit dû à la cause désignée par Fiodice i est celle qui a été obtenue (115)
/?lGJl-r-/?iGJi-r-. . '-r-pn^n
117. Problème LVI. — Une urne contient jjl boules : les unes sont blanches y les autres noires ^ on ignore en quelle proportion. On tire k boules, en remettant à chaque fois la boule sortie. Il ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne ne contienne que des boules blanches?
La question est mal posée.
On ignore, dit Ténoncé, la proportion dans Purne des boules blanches et des boules noires. Toutes les hypothèses sont possibles. Il faudrait dire, en outre, quelle est, a priori, la probabilité de chacune. Si, toutes les combinaisons possibles ajant été préparées dans des urnes d'apparence identique, le hasard a décidé entre elles, les conditions sont autres que si Ton a puisé au hasard dans une urne de composition convenue, pour composer avec les boules ainsi tirées l'urne nouvelle dont nous parlons.
Nous admettrons d'abord, pour préciser la question, que toutes les compositions de l'urne soient, a priori, également possibles. Toutes restent possibles après l'épreuve, à l'exception d'une réunion de boules noires, mais les probabilités ne sont plus égales.
La combinaison dans laquelle, sur |ji boules, le nombre des blanches est n donne à l'événement observe la probabilité
Les probabilités désignées par ïïT|, ïïT2, •••, ts^ dans l'énoncé
CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l47
général sont supposées égales entre elles; en les supprimant comme facteur commun dans la formule (i), on trouve la probabilité pour que le nombre des boules blanches soit n
