I-T-2*-+-3*-h...-h fJL
La probabilité pour que toutes les boules de Fume soient blanches est donc
Si Ton suppose, par exemple, [x = 5, A* = 6, après avoir tiré six fois de suite une boule blanche d'une urne qui contient cinq boules, la probabilité pour que les cinq boules soient blanches est
il8. Si, au lieu de supposer toutes les combinaisons également possibles a priori, on avait composé l'urne en tirant au sort, à pile ou face par exemple, la couleur de chaque boule, le problème serait très différent.
Les hypothèses possibles sur la composition de l'urne, au lieu d'être également vraisemblables a priori, ont les probabilités suivantes :
5 blanches ou 5 noires,
4 blanches et i noire ou 4 noires et i blanche,
3 blanches et 2 noires ou 3 noires et 2 blanches,
Les probabilités désignées par gj,, cJ;., ..., m^i dans la for-
l48 CALCUL DES PROBABILITÉS.
mule (i) sont proportionnelles aux nombres i, 5, lo, lo, 5, i, et la probabilité, quand six fois de suite on a extrait une boule blanche, pour que les cinq boules de Tume soient blanches est
119. Si, après avoir extrait les boules de l'urne, on ne les remettait pas, les résultats seraient différents.
Il est clair, d'abord, qu'on ne peut, dans cette hypothèse, extraire plus de cinq boules, et que, si on les extrait toutes les cinq, il n'j a plus de problème.
Supposons donc que l'événement observé soit la sortie de quatre boules blanches; les probabilités, a priori, des diverses compositions de l'urne étant proportionnelles à i, 5, 10, 10, 5, i, cherchons la probabilité pour que la cinquième boule qui reste dans l'urne, la seule que Ton n'ait pas vue, soit blanche.
L'événement observé est la sortie de quatre blanches. Les hypothèses possibles lui donnent pour probabilités : i, |, o, o.
La formule (1) devient, en y substituant les valeurs de Wi et de/?i.
Ce résultat est évident a priori.
Après avoir vu quatre des boules , sachant que pour les cinq la couleur a été tirée au sort, on n'a acquis sur la dernière aucun renseignement. Les circonstances pour elle sont les mêmes que si, lorsque Ton procédait à la formation de l'urne, le hasard avait désigné la couleur blanche aux quatre premières épreuves. On ne devrait y voir aucune raison pour qu'il la désignât une cinquième fois.
120. Problème LVIL — Une urne contient des boules noires ou blanches en proportion inconnue. On y /ait [x tirages, en re-
CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l49
mettant dans Vurne, après chaque tirage, la boule qui en est wrtie. On a obtenu m boules blanches et n boules noires. Quelle 3st la composition la plus probable de l'urne?
L'énoncé, comme celui du problème précédent, n'est pas suffisamment précis.
Toutes les hypothèses sur la composition de l'urne étaient possibles avant l'épreuve. L'étaient-elles également? Il est nécessaire le le dire. Nous le supposerons d'abord.
Soit X la probabilité assignée à la sortie d'une boule blanche par la composition de l'urne. La probabilité de l'événement observé, la sortie de m boules blanches et de n noires, est
Le nombre des combinaisons qui peuvent se présenter est indépendant de x^ et la probabilité de Févénement observé, que l'on connaisse ou non Tordre de sortie des boules, est proportionnelle à
Ce produit doit remplacer la probabilité désignée par pi dans la formule (i); les probabilités mi sont supposées égales entre elles, et la probabilité de chaque valeur supposée pour a:, proportionnelle au produit />|Gj/, est, dans le cas actuel, proportionnelle à
La valeur de x la plus probable rendra ce produit maximum. En égalant la dérivée à zéro, on trouve
La composition la plus probable est celle qui rend les probabilités de sortie des boules blanches ou noires proportionnelles aux nombres de fois qu'elles se sont montrées.
121. Chaque hypothèse sur la valeur de a: a une probabilité. Nous devons en chercher la loi. Il ne peut être question d'assî-
l5o CALCUL DES PROBABILITÉS.
gner la valeur de l'une de ces probabilités. Toutes les hypothèses ayant été supposées possibles et leur nombre étant infini, la probabilité de Tune d'elles, rigoureusement désignée, est o; mais la probabilité pour que x soit compris entre z et z -h dz est proportionnelle à dz.
La loi des probabilités est celle des valeurs de la fonction
à laquelle elles sont proportionnelles.
Pour étudier cette fonction dans le voisinage du maximum,
posons
Le maximum étant
\m-hn/ \m-hn/ ^ ^
la valeur voisine sera, en posant x =p — s, i — x = g -^ tj
p^q"^ étant indépendant de £, la probabilité est proportionnelle au produit
ou à
Im ^\ , \n\{ni — i) 'imn n{n — Ois'
en négligeant les puissances de e supérieures à la seconde. Or, à cause de
P 9 P^^ l'expression précédente peut être remplacée par
%pq
CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l5l
OU, au même degré d'approximation, par
e ^Pf ,
et, par conséquent, la probabilité pour que la composition de Turne donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité
et à celle d'une boule noire
est proportionnelle à
el peut être représentée par
Ge ^Pl ,
G étant indépendant de e.
Cette formule équivaut à celle qui a été trouvée (58). On a, dans les deux cas, obtenu n fois sur |x épreuves un événement '
dont la probabilité est/>. La différence e, égale à /), est remplacée par h égale à n — /?|x. La probabilité d'une valeur désignée de h est proportionnelle à
La seule différence des deux théorèmes consiste en ce que, dans un cas (S8), p est donné exactement, le doute porte sur la valeur de n\ dans la formule actuelle (121), n est donné exactement, le doute porte sur la valeur de p,
122. La formule précédente est déduite d'une hypothèse qui se réalisera rarement. Toutes les probabilités désignées par x ont, en général, a priori, des valeurs inégales.
l52 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Problème LIX. — Une urne contient N boules. On a tiré au sort la couleur noire ou blanche, avec probabilité ^pour chacune des boules. Sur [x tirages, faits dans V urne ainsi corn' posée, on obtient m boules blanches et n noires. Quelle est la composition la plus probable de l'urne?
La probabilité pour que, dans une urne ainsi composée, le
nombre des boules blanches soit >5 est approximativement (58),
si N est grand et z petit,
La probabilité de la sortie d^une boule blanche est, dans cette
hypothèse,
Posons T^=y; la probabilité d'une valeur désignée de y est proportionnelle à
(4) C N =c->Nj«.
La probabilité de l'événement observé est proportionnelle à
Les probabilités désignées par Wi et pi dans la formule générale (116) doivent être remplacées par (4) et (5).
La probabilité de la cause, c'est-à-dire de la valeur y, est proportionnelle au produit
En égalant à zéro la dérivée du logarithme, on obtient, pour déterminer la valeur dey qui rend (6) maximum, l'équation
— iNy ! =o
•^ I — ly i-f lïy
OU, comme ^ est petit,
— iNy — m(i -H 27) -h n(i — 2j) = o,
d'où
a(IN -^ m-h n) La plus grande probabilité correspond à
2 ( IN -H 771 -f- n )
La composition la plus probable de l'urne donne à la sortie d'une blanche la probabilité
il)
2 2(N-+-/nH-n) 2(N-Hm-+-/i)
Cette fraction est comprise entre ^ et On aurait pu le
prévoir. Avant le tirage d'aucune boule, les chances pour les deux couleurs étaient égales, le rapport le plus vraisemblable était celui qui donne la probabilité \, Si le tirage indique pour l'une des couleurs la proportion de m à m -H n, c'est une raison pour croire au même rapport dans l'ensemble des boules. Si ces deux indications ne s'accordent pas, la probabilité la plus plausible est entre les deux.
Si N est très grand, la formule (7) est très voisine de ^, quels que soient les nombres m et n; si, au contraire, m et m -4- /i sont
très grands, elle est voisine de > quel que soit N.
Ces conclusions du calcul pouvaient également se prévoir. Si le nombre N est très grand, on a fait, pour 'choisir les couleurs des boules de l'urne, un très grand nombre d'épreuves, donnant chacune à la couleur blanche une probabilité ~. Il est certain, d'après le théorème de Bernoulli, que le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules de l'urne diffère peu de ^. Cette certitude est assez grande pour ne pas être notablement amoindrie par les couleurs, quelles qu'elles soient, de quelques boules tirées de l'urne. Si cependant, après un nombre immense
l54 CALCUL DES PROBABILITÉS.
dressais, on trouve entre le nombre des boules blanches et le nombre des boules sorties un rapport très différent de |, on se trouvera en présence de deux certitudes inconciliables.
Nous adoptons, on le voit, le sens vulgaire du mot certitude. On tire au sort mille fois entre la couleur blanche et la couleur noire, en leur donnant des probabilités égales. Dans Turne contenant les boules dont les couleurs sont ainsi désignées se trouveront, à très peu près, autant de boules blanches que de boules noires : on peut le tenir pour certain. Sur m -H /i tirages, on obtient m boules blanches; le rapport du nombre des boules blanches au
nombre total diffère peu de > on peut aussi le tenir pour
certain. Les deux rapports cependant sont très inégaux. On est évidemment dans un cas exceptionnel , possible assurément, mais fort rare.
Supposons, par exemple, N = iooo. Dans l'urne composée de looo boules, contenant vraisemblablement, d'après la manière dont elles ont été choisies, 5oo blanches environ, on fait 4 tirages. On tire 4 boules blanches. La composition la plus probable de l'urne, d'après la formule (7), est telle que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total soit
La démonstration supposant un grand nombre d'épreuves faites dans l'urne n'est plus applicable, il est vrai, au cas où le nombre m -f- /i se réduit à 4* Le résultat est cependant peu différent du véritable. On a vu 4 boules blanches; amenées par le hasard, elles sont presque certainement différentes; on ne sait rien sur les 996 autres. Le nombre des boules blanches le plus \Taisemblable est, pour cette portion de l'urne, 498; cela fait, en tout, 5o2 pour le nombre le plus probable des boules blanches et pour probabilité la plus vraisemblable
1000 DOO
Si, dans la même urne composée de 1000 boules, on a fait
40000 tirages et obtenu 22000 boules blanches, le rapport le plus probable donné par la formule (7) est
peu différent du rapport — indiqué par le résultat du tirage; les motifs qu'on avait d'abord de croire à un rapport voisin de ^ se trouvent en quelque sorte annulés par les 4oooo épreuves qui les contredisent. Tous ces chiffres, nous devons le répéter, sont possibles, mais absolument invraisemblables.
La probabilité pour que, sur 1000 boules dont la couleur a été désignée par le sort, avec chance égale pour blanc et pour noir, le nombre des blanches soit inférieur à 55o est (65)
KO
^ , e-^'dt^ i-h -e(/5)
*■* i/tî •/
Deux, cas, en effet, sont possibles : ou les noires sont en majorité, ce dont la probabilité est^; ou Técart est positif et compris entre o et 5o.
On a
v/5oo
Il j a plus de mille à parier contre un, a priori, qu'un tel écart ne se produira pas. Nos hypothèses cependant le rendent probable. La sortie de 22 000 blanches sur 4o 000 tirages dans une urne contenant nombre égal de blanches et de noires présenterait une anomalie plus singulière encore. Si la probabilité de tirer I boule blanche est |, la probabilité d'en obtenir moins de 22000 sur 40000 tirages est
-^ MîonvniLiTKS.
Il ni 11';, que révénomenl doit t'irc
■ ritnicnl conlrairo rommr impos-
''»<ai des milliards dr milliards de
'\n\ sur4<>oo() épreuves, •.>.2(k.k) fois
.ilnlité est .',.
- ai^on au problème précédent des ques-
• 'lies.
. I-. vlémenlenl des pn'visions dont la pro-
. . ou présume, nalurellemenl, l'inlluenee
■te el Ton est conduit à chercher la pro-
..-.iMe. ( )u n'a pas, d'une part, les données ..(i.-, 'laulnî pari : ou il existe une eause, ou il i>la nellelé pn)mise par la forme de renoncé. Ml dit : il y a une cause?
. t\' lie m<)uuai(! looo fois, elle a monlré lace ,■ Il prohahililé pt)ur (pie cet écart soit ilù au .. '■ ré'^ulh' de rimperfeelion de la pièce?
. . , ■».>sNii)les sont en nombre infini.
; -r parfaile.
r. I à l'arrivée' de face une proi)abililé quclconciue
■ IN peliu* (pie !,.
"'".rrNé, l'arrivée de Tuo f(jis face sur looo coups .\v'r loules les hvpolhèses : il se peut cpie, la nièce
■ l».i-.ai'd ail amené ee pelil écari; que, la pièce l'a- X. .■ de lace de manière à rendre Téeart le plus pro-
tpie n>, le hasard ail eomplélé Li dinV-renct*; (jiie
i»iidt.d»le un écarl plus i;rand. beaucoup plus i;rand
. iMi que, iii(''*j;ale en sens opposé, elle donne prohai)!-
x. de pile ]dus fré'(piente (pie celle de face, vA (|iie le
. : (iil .lit ainem* l'exeès lo.
,.i.v'iue!il, dira-t-on peut-élre, parce que tant d'hvpo- . ln»^■.ibIes (pi'il V a lieu de chercher la probabililé de
La recherche ne peut aboutir : les données sont insuffisantes. La solution varie, en effet, avec la probabilité a priori de telle ou telle imperfection de la pièce, et cette probabilité n'est pas connue.
Si Texpérience est faite dans un pays où la fabrication des monnaies a une grande perfection, les grands écarts, a priori, sont presque impossibles, et, parmi les petits, ceux qui favorisent face ont même probabilité que ceux qui favorisent pile.
Si les pièces, par leur relief exagéré, favorisent toutes le même résultat, le problème est autre que si, par un autre accident de la fabrication, elles favorisaient le résultat contraire. Il faut remplacer par une hypothèse les renseignements qui font défaut.
L' hypothèse adoptée est inouïe.
Toutes les probabilités, depuis o jusqu'à i, données par la pièce à l'arrivée de face sont supposées, a priori, également vraisemblables.
On a cherché quelquefois, non la probabilité de chaque hypothèse, mais la probabilité pour que la chance donnée à l'arrivée de face soit plus grande que ^. Surpasse-t-elle ~ de un cent-millionième seulement, il faudra donner à cette différence imperceptible le nom de cause et laisser croire, d'après la dénomination adoptée, que l'écart observé est dû à cette imperfection de la pièce.
Il n'est pas inutile de traiter, pour ne laisser aucun doute, un cas célèbre pris pour exemple par Poisson.
i24. Buffon a jeté une pièce de monnaie 4o4o fois et obtenu ao48 fois face.
Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce de Buffon donnât à l'arrivée de face une probabilité plus grande que celle de pile.
Avant de résoudre la question, il semble naturel de chercher si cet écart de 28, qui substitue 2048 fois face au chiffre probable 2020, est assez invraisemblable par lui-même pour rendre suspecte la pièce qui l'a donné.
La probabilité d'un écart k pour un événement dont la proba-
l58 CALCUL DES PROBABILITÉS.
bilîté est/7 est
jx désignant le nombre des épreuves et q la probabilité i — p de l'événement contraire.
La probabilité d'un écart moindre que A, en valeur absolue, est
/2 [xt: /7g J^ /ir J^ \ /2 fx/?9 y
Il faut, dans cette formule, faire h = a8, [jl = 4o4o. On peut, sans erreur sensible, remplacer pq par |; on aura
La Table des valeurs de la fonction donne
La probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire la probabilité pour que, la pièce étant parfaite, l'écart soit égal ou supérieur à 28. est donc o,38.
Si Ton recommençait 1000 fois l'expérience de Buflbn, avec des pièces parfaites, on obtiendrait 38o fois environ un écart supérieur à 28. Si donc le hasard est la cause du résultat obtenu, il n'j a pas sujet d'étonnement.
Résolvons cependant le problème.
Soient ^ 4- w la probabilité donnée par la pièce de Buflbn à l'arrivée de face; ^ — :; celle qu'elle donnait, par conséquent, à l'arrivée de pile. Toutes les valeurs de z, entre — ^^^^j sont supposées également probables a priori.
La probabilité de l'événement observé était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 5c)
En prenant le logarithme de ce produit, remplaçant
ll-'hz] par l- -h l(i-^iz) = l- -\-^z — 2z^j il z\ par l — h/(i — 2^) = / ^z — iz^,
on voit qu^en supprimant un facteur constant dont la présence ne change rien, la probabilité de l'événement était, pour une petite valeur de 5, proportionnelle à
La probabilité pour que z soit positif est donc proportionnelle à
et pour qu'il soit négatif, à
on a
1 g-8080rt-lUsrf^j
et, en posant
OLZ—^zzzt,
on a également
Le rapport de la probabilité pour que z soit positif à celle pour qu^il soit négatif est donc
l6o CALCUL DES PROBABILITÉS.
Si Ton désigne par/?' et q' ces deux probabilités, on déduit de
Poisson a trouvé o,8io43.
12o. Une difficulté pourrait s'élever, le principe du calcul étant admis, sur la formule d'approximation employée. Après avoir désigné la probabilité cherchée par | -{- .s, et annoncé que toutes les valeurs de z seraient traitées comme également vraisemblables a priori, nous avons négligé les puissances de z supérieures à la seconde.
Cela est permis. Lorsque z en effet n'est pas petit, la probabilité de l'événement observé peut être considérée comme nulle, aussi bien que l'exponentielle qui la remplace. C'est pour la môme raison que, z étant compris entre o et ^, nous pouvons étendre les intégrations de o à oo.
126. Si Buffon, au lieu de jeter la pièce 4o4o foîs, l'avait jetée I fois seulement et qu'il eût obtenu face, l'événement, on en conviendra sans peine, n'apprendrait rien sur la qualité de la pièce.
Cherchons cependant, en appliquant les mêmes principes, la probabilité pour que la pièce ait une tendance à favoriser face.
Soit X la probabilité que la pièce donne à l'arrivée de face. La probabilité de l'événement observé étant x et les probabilités de toutes les hypothèses étant supposées égales a priori, la probabilité de chaque valeur de x est proportionnelle à ;r; la probabilité pour que x soit compris entre ^ et i est proportionnelle à
et, pour qu'il soit compris entre o et -J, à
/ xdx= \;
CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l6l
le rapport est 3 et les probabilités dont la somme est l'unité sont Une telle conséquence suffirait pour condamner le principe.
127. La régularité du rapport des naissances masculines et féminines a beaucoup occupé les géomètres. On a commis, en étudiant des anomalies toujours petites, des erreurs semblables à celles que je viens de signaler. On a assimilé les naissances à des tirages au sort faits dans une urne de composition constante, dans laquelle le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules noires différerait peu de celui des nombres de naissances indiqué par la Statistique.
Une telle substitution n'est légitime que si les écarts observés sont compris dans les limites et suivent les lois que la lliéorie montre certaines dans une suite d'épreuves réglées par le hasard.
S'il arrivait que, dans la France entière, le rapport, d'une année a 1 autre, présentât de trop grandes variations; ou si, au contraire, '* se maintenait dans de trop étroites limites, il faudrait conclure, avec grande probabilité, qu'une cause intervient pour régler le 'ïasard ou pour le troubler.
^a régularité de la proportion à Londres entre les années 1629 ^^ '710 a été admirée comme un miracle par un savant, novice encore à la théorie du hasard. Nicolas Bernoulli, digne héritier de ^^^ oncle Jacques et éditeur de son beau Livre, montra au con- ^ï*aire dans les chiffres signalés la confirmation des principes, ^^oaettant l'assimilation des naissances à un tirage au sort, sur '^Ooo naissances annuelles, tel était le chiffre moyen pour la ville ^ Londres, il est très vraisemblable que l'excès du chiffre des S^**Çons sur la valeur moyenne ne surpassera pas une fois en ^^^t ans i63; c'est l'écart le plus grand que l'on ait observé à Uondres.
La probabilité d'un écart inférieur à une limite "k entre le nombre ^es naissances masculines, sur i4ooo enfants nés annuellement, et *^ nombre supposé le plus probable, 7200, a pour expression très B. II
l()2 CALCUL DES PROBABILITÉS.
approchée
\}/2[Lpq
On suppose, bien entendu, que, par une règle de trois, on ramène toujours le nombre des naissances à i4ooo.
Si l'on fait [jl = i4ooo, X= i63, le produit pq pouvant être remplacé par j, on trouve pour probabilité
il y a donc plus de cent à parier contre un, chaque année, pour que le hasard n'amène pas l'anomalie dont Arbuthnot admirait la petitesse et qui s'est produite une fois seulement en cent ans.
128. On peut se demander jusqu'où devrait aller la régularité pour qu'il y eût lieu de s'en étonner. Cherchons, pour préciser la question, quel est l'écart qu'il y a dix mille à parier contre un de franchir une fois au moins en cent ans.
Nous avons vu (15) que, si la probabilité d'un événement est -> il y a dix mille à parier contre un que, sur 9,2/1 épreuves, Tévénement se produira au moins une fois. Si l'on a
9,2/1 = 100, c'est-à-dire — =0,092,
il y aura dix mille à parier contre un pour que l'événement dont la probabilité est - se produise une fois au moins sur cent épreuves. La probabilité pour que l'écart, pendant une année, sur, i4ooo naissances soit plus grand que \ est
Déterminons X de telle sorte que cette probabilité soit 0,092 et, par conséquent,
La Table donne
On peut remplacer 2 \kpq par 7000; on en déduit
Si, dans un siècle, Técart n'avait pas une seule fois dépassé 99; si, sur i4ooo naissances annuelles, le nombre des garçons s'était maintenu entre 7300 et 7100, une cause régulatrice serait presque certaine; il y a dix mille à parier contre un, a priori, pour que le hasard, sur cent épreuves tentées dans la même urne, ne maintienne pas une telle régularité.
129. Buffon a signalé une commune de Bourgogne dans laquelle, sur 2000 baptêmes enregistrés pendant cinq ans, le nombre des filles «a surpassé de 20 celui des garçons. Il est né dans cette commune, sur 2000 enfants, 39 garçons de moins que le chiffre normal. La formule donne 0,92 pour la probabilité d'un écart, en plus ou en moins, inférieur à 39; 0,08 est, par conséquent, celle d'une anomalie au moins égale à celle qu'a signalée Buffon ; les statisticiens la rencontreraient souvent, s'ils la cherchaient.
130. Laplace a trouvé, pendant le xviii* siècle, la proportion des garçons aux filles plus petite à Paris que dans l'ensemble du pays, Il au lieu de j^, chiffre normal adopté alors, auquel les documents nouveaux et plus nombreux ont substitué -j-y.
Quelle est, se demande Laplace, la probabilité pour que cette différence soit due à une cause?
« A Paris, dit-il, les baptêmes des enfants des deux sexes s'écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1745, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 1784, on a baptisé dans celte capitale 393386 garçons et 377605 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24; il paraît donc qu'à Paris une
lG4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
cause parliculière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes.
» Si Ton applique à cet objet le Calcul des probabilités, on trouve qu'il y a 238 à parier contre i en faveur de Texistence de cette cause. »
Laplace supprime les détails. Ni ses calculs ne sont rapportés, ni les principes sur lesquels ils reposent.
131. Faut-il croire à un écart fortuit ou affirmer Texistence d'une cause? Les données ne sont pas suffisantes. Comment se prononcer de la même manière si les études antérieures ont appris que le rapport varie très rarenient, ou si l'on constate, partout où les documents sont nombreux, des écarts comparables à ceui dont s'étonne Laplace? La solidité plus ou moins grande de la règle qui se trouve en défaut doit faire apprécier différemment les conséquences.
Il n'est pas inutile d'insister.
Si l'on assimile la distribution des naissances entre les deux sexes à des tirages faits dans une urne, la probabilité pour que le hasard produise, sans l'intervention d'aucune cause perturbatrice, sur 770941 naissances, un écart relatif égal ou supérieur à
-— — -— =z 0,00142, est 4i 49
Si donc on dresse des listes pendant un temps suffisant, le hasard seul, on peut l'affirmer, produira i3 fois sur 1000 environ, dans un sens ou dans l'autre, un écart égal ou supérieur à celui dont s'est préoccupé Laplace.
Si des causes autres que le hasard amènent aussi des anomalies, le statisticien, en classant par groupes de 770000 naissances les registres de tous les temps et de tous les pays, trouvera un certain nombre de rapports anomaux égaux ou supérieurs à celui de Paris. Parmi ceux-là, quelques-uns seront dus au hasard, i3 sur 1000 environ, cela peut être tenu pour certain, si les chiffres
CH\P. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l65
sont suffisamment grands. D'autres écarts seront dus à des causes; nous en saurions à peu près le nombre, si la statistique était faite en retranchant du nombre total le nombre probable de ceux que le hasard a produits. Nous n'avons qu'un seul fait : est-il dû au hasard? Il serait téméraire, impossible même, d'en rien dire sans accepter sur les probabilités a priori quelque convention arbitraire.
132. Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un retard de 1*, quand la température de la chambre dont le chronomètre ne sort pas s'élève de lo*^.
L'observation a été renouvelée vingt fois.
Quelles sont les probabilités pour que la chaleur soit la cause du ralentissement et pour que le concours des deux faits soit fortuit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué une avance de i* le lendemain de chaque jour où les artilleurs se sont exercés au champ de tir voisin.
L'observation a été renouvelée vingt fois.
Quelles sont les probabilités pour que l'ébranlement causé par le tir ait changé la marche du chronomètre et pour que le concours soit fortuit?
Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un ralentissement de 1*, chaque fois que la planète Mars passe au méridien entre minuit et i^ du matin.
L'observation a été renouvelée vingt fois.
Quelles sont les probabilités pour que la planète influe sur le chronomètre et pour que le concours soit fortuit?
Les problèmes sont identiques. Les réponses ne peuvent cependant être les mêmes : n'est-ce pas une raison pour reconnaître les données insuffisantes?
133. Les habitants de Saint-Malo s'étaient persuadé, il y a un siècle, que, dans leur ville, le nombre .des décès à l'heure de la marée haute était plus grand qu'à marée basse.
lC6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
Admettons le fait.
Supposons que, sur les côtes de la Manche, on ait remarqué une plus grande proportion de naufrages par le vent du nordouest que par aucun autre.
Les chiffres recueillis à l'appui des deux remarques étant supposés en même nombre et inspirant même conflance^ on sera loin d'en déduire les mêmes conséquences.
Lorsqu'on sera conduit à accepter comme une certitude l'influence du vent de nord-ouest sur les naufrages, les gens pradent*^ exigeront des preuves nouvelles pour reconnaître seulement vraisemblable l'influence de la marée sur la dernière heure des Malouins.
Les problèmes, cette fois encore, sont identiques; l'impossibilité d'accepter une même réponse montre la nécessité de faire intervenir la probabilité a priori de la cause qu'on veut apprécier.
134. Le fermier d'une niaison de jeu a installé une ix)ulette nouvelle. L'instrument, sur loooo coups, a amené la rouge 53oo fois et 4700 fois la noire. L'acheteur refuse le payement et demande une indemnité : les joueurs ont remarqué les sorties plus fréquentes de la rouge et en ont profité. Un procès s'engage. On allègue le Calcul des probabilités. Jamais, dit le fermier, machine bien construite n'a donné un tel écart. 3oo coups sur 10 000 ne peuvent être Tefl'et du hasard. La probabilité de la rouge n'est pas j comme elle devrait. Peu importe, répond le mécanicien, la statistique des parties jouées : on ne peut pas garantir les caprices du hasard; la machine, construite par d'excellents ouvriers, a été vérifiée avec soin. Aucune pièce n'est imparfaite; on ne montre ni roue mal centrée, ni cases inégales, ni nivellement défectueux. Le tribunal nomme un expert. Quelle décision doit-il conseiller?
L'écart observé est un indice. Quelle en est l'importance? L'application du principe (Ho) suppose des données qu'on n'a pas.
Les probabilités des diverses hypothèses, que nous nommons les causes, sont proportionnelles au produit de leur probabilité a priori par la probabilité qu'elles donnent à Tévénement.
L'événement est l'arrivée de 53oo fois rouge sur loooo épreuves. La cause inconnue, c'est la valeur de la probabilité, donnée par la machine, à l'arrivée de la couleur rouge.
La probabilité a priori, désignée par xsi dans la formule (H5), est complètement inconnue; en supposant, comme on l'a fait dans des cas analogues, toutes les valeurs également probables, on proposerait une hypothèse inacceptable. Si, réellement, la roulette favorise la rouge, un très petit écart est plus probable qu'un grand, un très grand est impossible. Les grands écarts sont, en outre, d'autant moins probables que le mécanicien a meilleure réputation et qu'il a employé de meilleurs ouvriers.
L'expert doit répondre :
Les faits connus de la cause ne permettent pas l'évaluation des probabilités : il manque l'appréciation a priori de la probabilité qu'on veut connaître a posteriori.
Le calcul serait sans issue.
Il faut simplifier la question.
La machine, suivant l'une des parties, donne à la sortie de la rouge une probabilité peu différente de o,53.
Le résultat de loooo épreuves ne permet pas, suivant lui, d'en douter.
La machine, suivant l'adversaire, donne, comme elle doit, à la sortie de la rouge une probabilité voisine de o,5oo. Le soin apporté à la construction ne permet de croire à aucun défaut grave.
Précisons les deux dires :
La probabilité de la rouge, dans l'un des systèmes, serait comprise entre 0,499 ^^ o,5oi ; suivant l'autre, entre 0,529 ^^ o,53i.
Laissons de côté le cas très possible où les plaideurs se tromperaient tous deux, et cherchons le rapport des probabilités de leurs assertions.
Soient x la probabilité pour que la roulette donne à la couleur rouge une chance comprise entre 0,629 et o,53i ; y la probabilité pour que la chance soit comprise entre 0,499 ^^ o,5oi, x+y n'est pas égal à l'unité. Le rapport — > sans faire connaître les deux probabilités, apportera un renseignement ut'de.
■ 'i*t CilLGUL DES PROBABILITÉS.
Soient TUi la probabilité a priori pour que la machine, d*après iH qu*on savait avant sa mise en œuvre, en tenant compte de sa bonne apparence, de la bonne renommée du- constructeur et de l'apparente sincérité de ses déclarations, donne à la sortie de la couleur rouge une valeur comprise entre o,499 ^^ o,5oi ; w^ la probabilité, évaluée toujours avant l'épreuve, pour que, malgré les garanties énumérées, elle donne une probabilité comprise entre 0,529 et 0,53 1.
nji et xa^ sont inconnus.
Soient jD| et /72 les probabilités que les deux hypothèses sur le mérite de la roulette donneraient à l'événement observé, on aura (H5)
y " ^iPi
En nommant X la probabilité de la sortie de la rouge, la probabilité qu'elle donne à l'événement observé est proportionnelle à
Si Ton suppose
on trouve
X| — o,5oo et Xj — o,53o,
X»»oo(,. .xo^-oo =0,0000000008.
Le rapport varie peu quand Xi et X2 restent dans les limites assignées. On peut donc supposer
— — 0,00000001 5; Pt
par conséquent.
r> uti i wi
y 1 000000000 mj 6G6()6G6(> mj
ro,
— est inconnu. Si le constructeur est très habile, ce rapport est
TJT{
très grand; il est invraisemblable qu'une pièce détestable sorte d'ateliers dignes de confiance; mais, quelle que soit la confiance,
en divisant le rapport qui la mesure par 66666666^ il est à craindre que le quotient soit petit.
Si vous croyez qu'un défaut tel que celui qu'on soupçonne ne peut se produire qu'une fois sur un million, il restera 66 à parier contre i qu'il s'est produit cette fois-là.
135. Les restrictions proposées peuvent s'appliquer aux conséquences déduites par Mitchell du rapprochement fréquent de deux étoiles dans le ciel. Deux hypothèses sont possibles :
Pour être aperçues dans la même direction, deux étoiles n'ont rien de commun, leur vraie distance est immense;
Les deux étoiles, au contraire, sont voisines dans l'espace ; c'est pour cela qu'elles sont rapprochées dans le ciel.
En comptant les étoiles de i", de a® et de 3" grandeur et les supposant indépendantes les unes des autres, Mitchell a calculé le nombre probable des groupes dont la distance est inférieure à une limite donnée.
Il ne faudrait pas croire que toutes les distances angulaires soient, a priori, également probables : les petites le sont moins que les grandes. Considérons une première étoile, peu importe la position qu'elle occupe. Si une seconde étoile est placée au hasard, pour qu'elle se trouve à une distance angulaire de la première comprise entre 6 et 6 -f- rfO, il faut que le hasard la place dans une zone comprise entre deux cercles ayant pour pôles la première étoile et pour rayons sphériques et -h rfO. La surface de cette zone est d'autant plus grande que 6 s'approche davantage
de - ; elle est proportionnelle au sinus de l'angle dont on cherche
la probabilité. La probabilité pour qu'une étoile se trouve à une distance inférieure à y d'une étoile donnée est le rapport de la zone à une base terminée par le petit cercle dont y est le rayon sphérique à la surface de l'hémisphère sur laquelle on suppose l'étoile placée au hasard. Ce rapport, égal à i — cosy, peut être re-
présenté, si y est petit, par — .
SI, par exemple, on prend
on aura
Y = lo' = — ?— = 0,0020089, * 1080 > î' î'»
Le nombre des étoiles des trois premières grandeurs étant égal
à aSo, on peut former — - — - = 26335 combinaisons deux à deux.
La probabilité pour que le hasard procure deux étoiles à distance inférieure à 10' est celle d'obtenir i boule blanche en 26335 tirages dans une urne contenant une seule blanche et 236362 noires. Cette probabilité est
L^ngénieux argument de Mitchell ne peut pas cependant fournir d'évaluation numérique. La recherche plus ou moins rigoureusement faite delà probabilité pour que le hasard ait produit les groupes observés n'est pas le seul élément de la question. C'est le seul, cependant, que l'on fasse intervenir. Si Ton trouvait, en étudiant le ciel, trois étoiles de i '^*^ grandeur ayant, à i* près, la même ascension droite, la probabilité pour que le hasard produise un tel rapprochement est plus petite assurément que la formation fortuite du groupe des Pléiades.
En conclura- t-on, avec la même vraisemblance, que ce rapprochement doit avoir une cause et que ces étoiles, dont la déclinaison diffère de 40^ ou 5o** peut-être, sont solidaires et forment un système?
Personne, assurément, n'y songera, et la raison en est que la probabilité a priori, désignée par tïj/ dans nos formules, est trop petite.
Comment déCnir, d'ailleurs, la singularité dont on juge le hasard incapable?
Les Pléiades semblent plus rapprochées les unes des autres qu'il n'est naturel. L'assertion est digne d'intérêt; mais, si l'on veut
traduire la conséquence en chiflres, les éléments font défaut. Faut-il, pour préciser cette idée vague de rapprochement, chercher le plus petit cercle qui contienne le groupe? la plus grande des distances angulaires? la somme des carrés de toutes les distances? l'aire du polygone sphérique dont quelques-unes des étoiles sont les sommets et qui contient les autres dans son intérieur? Toutes ces grandeurs, dans le groupe des Pléiades, sont plus petites qu'il n'est vraisemblable. Laquelle d'entre elles donnera la mesure de l'invraisemblance? Si trois étoiles forment un triangle équilatéral, faut-il faire entrer cette circonstance, assurément peu probable a priori, au nombre de celles qui révèlent une cause?
L'intervention du hasard dans la formation de l'univers est inacceptable. Une loi règle tout, cela n'est pas douteux. Quelle est cette loi? voilà la question. Il n'est pas admissible qu'on demande s'il y en a une et que l'on évalue la probabilité de la réponse.
Si l'étude du ciel suggérait plusieurs lois, on pourrait les mettre en balance et non choisir l'une d'elles, celle du groupement par attraction mutuelle, pour l'opposer à l'ensemble des autres, réunies sous le nom vague de hasard.
Lorsque plusieurs étoiles semblent voisines sur la voûte céleste, leur proximité dans l'espace est la première explication qui se présente. Ne peut-on pas en imaginer d'autres?
Si l'ensemble des étoiles forme un réseau régulier, si le Soleil en est un sommet, les lois géométriques de cette immense cristallisation peuvent exiger des alignements. La Terre, voisine du Soleil, aperçoit, pour ce motif, beaucoup d'étoiles dans une même direction. L'hypothèse, dira-t-on, ne mérite pas examen. Raison de plus , si on la condamne par l'appréciation des probabilités a prioriy pour ne négliger dans aucun cas le rôle indispensable qu'elles doivent jouer.
136. On a attaché beaucoup d'importance à la recherche de la probabilité des événements futurs, déduite des événements observés comme corollaire de la probabilité des causes.
Le problème peut s'énoncer ainsi :
Plusieurs causes peuvent produire un même événement dont Ja probabilité dépend à la fois de la probabilité pour que chaqae cause agisse et de la probabilité que, dans ce cas, elle donne à Tévénement.
Si les probabilités des causes sont t7|, tîTs, . . ., m^,, et celles qu'elles donnent à Tévénement />|, p^^ .. ., p^ Ist probabilité, a priori, pour que l'événement se produise, est
On fait un certain nombre d'épreuves, dans des conditions telles que la même cause, on ignore laquelle, a agi dans toutes. Si les causes sont des urnes de compositions différentes, que le hasard peut désigner pour qu'on y fasse le tirage, une même urne a servi à tous les tirages. La connaissance des résultats obtenus change les probabilités, qui ne sont plus, pour les différentes causes, T3|, Wa, . . . , TSn- On demande la probabilité pour qu'une nouvelle épreuve, faite dans les mêmes conditions que les précédentes, procure l'arrivée d'un événement désigné.
Une urne, par exemple, contient des boules noires et des boules blanches en proportion inconnue. Toutes les suppositions sont ravalement possibles.
On a fait [// tirages ; il est sorti m boules blanches et n noires. Quelle est la probabilité pour que le (a H- i)""* tirage amène une boule blanche?
Soit œ la probabilité donnée par la composition de l'urne à la sortie d'une boule blanche. Toutes les valeurs de x sont, a priori, également probables,
La probabilité qu'une valeur x donne à l'événement observe est
{I — jr)«.
La probabilité pour que x soit compris entre x el x -\- dx peut donc être représentée par
Gx"*[ I — x)'*dx.
CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l'j'^
j étanl indépendant de x, La probabilité pour que x soit compris între o et i est la certitude. On doit donc avoir
= G r a7"»(i - x)'*dx = G
lonc
?t la probabilité pour que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules soit compris entre x ei x -h dx est
c'est-à-dire
r 5 a:"» ( I — ar)» tfa:.
La probabilité pour qu'une nouvelle épreuve amène une boule blanche est la somme des produits des diverses valeurs de la probabilité X par la probabilité pour que chacune soit la véritable. :î 'est-à-dire
V{m-^n-\-'i) r^ ^.. . , r(/n~/i — 2)r(/n-+-'2)r(/i-f-i) I x"^^^(i — x\^dx^=- — -\
"(m-+-i)r(/i-M) Jq ^ ^ r(m-M)r(/i-M)r(/n-r-/iH-3)'
rf/n H- n -+- 2) I
r(/n -h /i -h 3) /nH-/i-4-2 r(/n-f-2)
r(/n-ri) et la probabilité demandée est
137. Les applications faites de cette formule ont été presque toutes sans fondement.
On a osé chercher la probabilité pour que le Soleil se lève demain.
Pour chercher la probabilité d'un événement, il faut accepter
son contraire comme possible. Une urne est donc supposée qui contient des boules blanches et des boules noires. La probabilitë d'en tirer i boule blanche représente celle de voir le Soleil se lever. Jamais il n'a manqué : cela dure depuis six mille ans. L'urne, consultée 2191600 fois, a donné aipiSoo boules blanches. La formule donne pour la probabilité d'un nouveau tirage semblable aux précédents
îiioiôoi
Est-il besoin d'insister sur l'insignifiance d'un tel calcul?
Représentons-nous le premier homme au premier coucher du Soleil. Il devrait, pendant sa première nuit, s'il raisonne comme Condorcet, assigner la valeur | à la probabilité de le revoir. S'il comprend la question et s'il se la pose, les chances pour lui seront beaucoup moindres. Le Soleil a disparu; s'il est éteint, qui le rallumera? S'il est tombé dans la mer, comment en sortirait-il?
Sans avoir cependant la science parfaite que lui supposent les théologiens, le premier homme se persuadera sans doute, après cent apparitions, que le Soleil tourne autour de la Terre; rien alors ne doit lui faire craindre un arrêt brusque, l'absence du Soleil au cent et unième jour ne Tétonnerait pas moins que celle des objets éclairés chaque matin par ses premiers rayons; faudrat-il, en invoquant la formule, supposer qu'après cent jours w probabilité de les revoir est -J-J^? L'absurdité serait précisément la même.
Le lever du Soleil, après une année, sera pour le premier homme une certitude. ^
Si le temps doit la confirmer et l'accroître, c'est par la découverte des lois astronomiques et non par le succès renouvelé d'uD même jeu de hasard.
CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 1^5
