CHAPITRE VIII
in dor Astrunomte Ist die Praxis eine Aufi^abe der
Wahncheinlichkclts-Rechnang, dio Théorie eine Auf-
gabe dor hOheren Mechanik.
Bembl.
138. Postulatuin de Gauss. — 139. Autre hypothèse faite impIicitemcDt. — 140. Cas dans lequel le postulatum est rigoureusement exact. — 141. Conséquence des suppositions acceptées. — 142. Comparaison du résultat avec une formule connue; accord apparent, mais non réel. — 143. Autres contradictions résultant de la loi admise. — 144. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures. — 145. L'observation confirme la règle de Gauss, les erreurs constantes étant écartées. — 146. Méthode de vérification. — 147. Résultats de Bradley discutés par Bessel. — 148. Détermination du paramètre k; diverses formules. — 149. Vérifications possibles. — 150. Valeur probable du carré de Terreur commise en adoptant la première formule. — 151. Valeur probable pour la seconde. — 152. Comparaison des deux résultats.
— 153. Les formules peuvent être remplacées par d'autres qui sont préférables.
— 154. Autre modification accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres méthodes pour calculer k. — 156. Groupement des observations deux par deux; valeur probable de la plus grande erreur. — 157. Autre démonstration du résultat. — 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erreurs considérées deux à deux. — 159. Groupement des erreurs trois par trois. — Distinction nécessaire entre l'erreur véritable et l'erreur présumée. — 160. Cas plus général. — 161. Discussion de la démonstration précédente. —
162. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. —
163. Ce qu'on entend par poids et par précision. — 164. Si la loi de probabilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. — 165. Est-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes par leur différence avec la moyenne?
— 166. Valeur probable de la plus petite des erreurs commises. — 167. Combinaison d'observations qui n'inspirent pas égale confiance. — 168. Partage d'une grandeur en plusieurs parties mesurées séparément. — 169. Évaluation donnée par Fourier en Egypte. — 170. Discussion relative à la détermination de la constante k déduite d'un système d'observations.
138. La loi rigoureuse de probabilité des erreurs d'observation varie sans doute avec la grandeur mesurée, comme avec le choix
de rinstrument et rhabileté de Tobservateur; elle est inaccessible aux géomètres.
Eulcr, Bernoulli, Lagrange et Laplace ont fait des hypothèses démenties par les faits et mal justifiées par des preuves sans vraisemblance.
Gauss, plus heureux, a déduit d'un raisonnement fort simple une loi que la démonstration laisserait douteuse^ mais que les conséquences justifient.
Lorsque plusieurs mesures d'une grandeur inspirent une confiance égale, la valeur la plus probable est la moyenne de celles qu'on a obtenues.
Tel est le poslulatum de Gauss. Tous les observateurs , avant qu'il fût pris pour base de la théorie, y avaient adhéré en en faisant usage.
S'il suffisait d'admettre une règle aussi plausible, la théorie serait parfaite.
A la condition énoncée, il faut, malheureusement, en ajouter plusieurs autres qu'on ne dit pas. Nous devons signaler d*abord une différence essentielle entre la valeur la plus probable d'une grandeur et la meilleure valeur à adopter.
La valeur la plus probable est celle dont la probabilité est la plus grande. Peu importent les autres. Elles doivent toutes, cependant, diriger le choix à faire. S'il est utile d'accroître la probabilité des petites erreurs, il est désirable aussi de diminuer celle des grandes. S'attacher seulement à choisir la valeur la plus probable, c'est imiter le joueur qui, pouvant espérer un grand nombre de gains différents et craindre un grand nombre de pertes, prendrait ses décisions de manière à accroître la chance de gagner le plus gros lot, sans aucunement se soucier des autres.
En disant : u En présence de plusieurs mesures d'une même grandeur, le parti le meilleur est d'adopter la moyenne », et : u La moyenne entre plusieurs mesures est la valeur la plus probable )), on énonce deux propositions différentes. On a eu tort de les confondre.
Supposons, pour donner un exemple, que Ton cherche l'origine probable d'une plante d'espèce connue cueillie en France.
Dans la liste des loo localités où Tespèce se rencontre , on en trouve trois dans la même commune du Cantal et les autres dans g'j communes différentes du Finistère.
La commune la plus probable est en Auvergne; l'origine probable de la plante, la Bretagne.
139. Après avoir proposé le postulatura qui a été admis sans difficulté, Gauss représente par çp(A)rfA la probabilité pour que l'erreur d'une mesure soit comprise entre A et A 4- rfA ; la fonction cp(A) est l'inconnue qu'il veut déterminer.
Ici encore s'élève une objection. La probabilité d'une erreur A est-elle une fonction de A?
Ne dépend-elle pas de la grandeur mesurée? Si Ton fait une pesée, si l'on mesure un angle, lorsque le poids est un nombre exact de milligrammes, lorsque l'angle contient un nombre exact de secondes, n'a-t-on pas plus de chances d'évaluer juste que s'il faut ajouter une fraction? Si cette fraction, que l'instrument ne donne pas, est exactement égale à \^ n'a-t-on pas, en l'évaluant, moins de chances d'erreur que si elle est 0,27?
En disant, sans explication : Soit çp(A) d/A la probabilité d'une erreur A, on s'écarte, dès les premiers mots, de la rigueur promise en quelque sorte par la forme géométrique de la démonstration.
140. Il est un cas où, le postulatum étant rigoureusement démontrable, la conclusion cependant n'est qu'approchée. C'est une preuve décisive contre l'exactitude de la théorie.
Supposons que la grandeur à mesurer soit le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules, dans une urne de composition inconnue.
On tire un certain nombre de boules ; nous le désignerons par {JL.
Sur ces [JL boules, m sont blanches.
La fraction — peut être considérée comme une mesure du rap-
im.. L
port cherché. L'instrument qui l'a donnée est d'autant plus précis que le nombre des tirages est plus grand. L'opération recommencée n fois donne les mesures successives
La valeur la plus probable du rapport cherché déduite des /îjx
tirages est
m, -+- mi -4- . . . -+- ntn
elle est, on le voit, la moyenne entre les valeurs successivement obtenues par n mesures qui méritent même confiance. Si la démonstration que nous allons donner était irréprochable, la conclusion devrait, dans ce cas, s'appliquer en toute rigueur.
141. Soient .r,, d:*2, . . . , x,^ les valeurs d'une même grandeur données par n mesures successives, faites dans les mêmes conditions et dignes de la même confiance.
La valeur la plus probable de la grandeur inconnue est, on le suppose, la moyenne
a?! -f- ar^ -+-... H- Xfi
Si z est la valeur véritable, les erreurs successivement commises ont été z — Xi, z — .r^, . . . , z — x„. La probabilité, avant l'épreuve, de ce concours de mesures, c'est-à-dire celle de l'événement observé, est proportionnelle au produit
La probabilité pour que la valeur exacte soit z est proportionnelle à (i): la valeur la plus probable est celle qui rend ce produit maximum : elle doit donc rendre nulle sa dérivée et, par conséquent, aussi celle de son logarithme, et l'on doit avoir
0'(Z-X,) O'(z-Tt) , , ^'C^-^H^^^
^{Z — Xi) o(z—Xz) t^{Z — Xn)
Cette équation, d'après le postulatum, doit être satisfaite par la
valeur
.7*1 -+- JTj -f- . . . H- X„
Si Ton pose
oUn) oi U)
l'équation (2) peut s'énoncer de la manière suivante :
La somme des valeurs de la fonction F(//) doit être nulle
lorsque celle des valeurs de la variable est elle-même égale à
zéro.
Si l'on considère deux valeurs u^ et 112 de la variable, on doit
avoir
F( wi)-+-F(— Ml) = o;
la fonction est impaire.
Si l'on en considère trois, u^^ U2 et — Ux — u^i on doit avoir
On déduit de cette équation bien connue la forme de la fonction F; elle est proportionnelle à la variable. L'équation (3) donne
o(w) 3n en déduit, en intégrant,
lïl, en remarquant que o(u) doit s'annuler quand u est infini,
O et k étant des constantes.
On peut déterminer le facteur G.
La probabilité d'une erreur comprise entre z cl z -\- dz étant
celle d'une erreur comprise entre — oo et ^- oo est
l8o CALCUL DES PROBABILITÉS.
elle représente la certitude. Il faut l'égaler à l'unité. On en déduit, en se rappelant Téquation bien connue
f^\-'^^'^^dz = ^^T.,
et la loi de probabilité des erreurs est représentée par (4) 4-e-^^'^'dz,
une seule constante servant à distinguer et à caractériser les cas.
142. La vérification dont nous avons parlé (140) semble confirmer le résultat.
Si, sur |JL tirages faits dans une urne, on a rencontré m boules blanches, la probabilité pour que la composition de l'urne donne
pour rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules est (121)
yjLTz m( (JL — ni)
Le théorème semble confirmé; il est mis en défaut : la formule (5) est seulement approchée, elle devrait être rigoureusement exacte.
143. La règle des moyennes, il importe d'insister sur ce point, n'est ni démontrée ni exacte. S'il était admis que la moyenne entre plusieurs mesures fût toujours la valeur la plus probable, il en résulterait des contradictions. Quand on mesure une grandeur, on mesure, par cela même, toutes les fonctions de cette grandeur, son carré par exemple, ou le logarithme du nombre qui la représente. Pourquoi la valeur la plus probable du carré ne serait-elle
CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. i8i
i moyenne des valeurs obtenues pour le carré, et la valeur ble du logarithme, la moyenne des logarithmes? valeur la plus probable d'une grandeur dont les mesures ssives sont .r,, Xy, . . ,, Xn serait alors représentée par l'une utrc des formules
or I ~T~ or m "T" • • • ~T~ or fi n
ré de la première est, en effet, la moyenne des carrés, et le ihme de la seconde, la moyenne des logarithmes, le faut pas, pour écarter l'objection, faire une distinction les grandeurs directement mesurées et celles qui résultent calcul. Un mécanicien pourrait, bien aisément, annexer à alance une aiguille marquant le carré ou le logarithme du Ce carré ou ce logarithme deviendrait alors la grandeur ée. Le postulatum admis dans un cas devient donc im- »le dans les autres.
seconde supposition indispensable à la démonstration, la ►ilité d'exprimer la probabilité d'une erreur en fonction de erreur seulement, implique également contradiction. Une eur étant égale à X, on lui trouve, en la mesurant, la va- 'i] l'erreur est X — Xt. L'erreur sur le carré est X^ — x''^.
1 pose
X — Xi = z,
ra
babilité d'une erreur z étant (p(5), celle de l'erreur 2Xi z
carré sera aussi o( z'). Elle n'est pas une fonction de l'erommise.
. L'importance du résultat justifie l'étude et la discussion ieuses des détails. Nous résoudrons encore le problème t:
jauss avait adopté, au lieu de la moyenne, un autre mode
l8?. CALCUL DES PROBABILITÉS.
de combinaison des mesures, quelle loi des erreurs en aurait*ll déduite?
En supposant que
représente la valeur la plus probable d'une grandeur dont les \aleurs successivement obtenues sont oti, X2, • • • » ^/i> quelle est la loi correspondante pour la probabilité des erreurs?
En général, nous allons le démontrer, il n'existe pas de loi. exprimant la probabilité d\ine erreur A en fonction de A, qui puisse justifier Tadoption de la fonction (f. Le problème ne peut être résolu que pour certaines formes très particulières.
En désignant par :; la valeur de la grandeur mesurée et par ^(A) la fonction de A à laquelle est proportionnelle la probabilité d^unc erreur A, la valeur la plus probable z doit rendre maximum le produit
La dérivée par rapport à z de ce produit doit être nulle et, si l'on pose
on doit avoir
(8) F{z — xi) -{-F(z — Xi) -T-. . ,-^¥(z — Xn) — o,
Z étant lié à 0^1, Xo, . . . , ^/i par la relation
;; = tpl'xi, Xtj .. ., X„).
Pour que l'équation (8) puisse être satisfaite par une fonction F, il faut que les valeurs z — Xt, z — X2t . . ., -3 — ^^ de la variable, auxquelles correspondent les valeurs de la fonction dont la somme doit être nulle, ne soient pas indépendantes les unes des autres.
Les n fonctions de n variables
doivent être liées par une relation. 11 faut et il suffit, pour cela, que leur déterminant fonctionnel soit nul.
On doit avoir
dxi
d(f dxi
d(^ dx\
d^ dxi
d^ dxi
dXn
dXn
d^ dxi
d^ dxi
dXn
ce qui donne Téquation linéaire
d^ d^ dxi dx%
dxii
dont rintégrale est
X\-^ X\-\- . . .-\- Xfi
¥{xi~- x^,x^— Xx,
Telle est la seule forme possible de la fonction (p, pour laquelle la recherche, telle qu'on l'a faite, puisse donner une loi de probabilité.
La forme obtenue pour <p peut se définir simplement. La fonction ^ est telle qu'en donnant à toutes les mesures prises un même accroissement a, elle augmente elle-même de a. Celte condition est nécessaire et suffisante pour que la fonction ait la forme (9).
Si l'on prenait
ç(Ti,a?j, . . ., Xn) = v^i,a?j, ,. .,Xn,
la condition ne serait pas remplie.
Aucune loi de probabilité des erreurs, en fonction de V erreur commise, ne peut donc justifier l'adoption des formules (10).
145. Malgré les objections précédentes, la formule de Gauss doit être adoptée. L'observation la confirme : cela doit suffire dans les applications. Les conséquences minutieusement étudiées se sont toujours trouvées d'accord avec les faits. Il est bien entendu que
i«4 CALCUL OFS pnoiuniLiTÉs.
les erreurs constantes aonl en dehors des formules; chaque ob* valeur doit étudier son instrument et sa méthode pour les éc: ter. La moyenne, évidemment, ne peut donner que la mesure enlachi^e de l'erreur systématique inhérente à l'instrumenl. Si l'on pèse avec de Taux poids, si les (ils de la lunette snol mal placi^s, les moyennes ne pourront pas faire les corrections; c'est à la grandeur mesurée accrue de l'erreur constante que se rapportent alors les formules.
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lent la vérification de la io]
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