Cherchons la valeur probable de
cette valeur étant calculée, bien entendu, de même que la précédente, avant les opérations faites et sans qu'on puisse prévoir ni présumer quelles sont les plus grandes erreurs. L'expression ( i3) peut s'écrire
19 II v^V i v^îVî !__ v^?j l,
CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATIOW. 19^
La valeur probable s'obtiendra en remplaçant e^, quelque soit /. par sa valeur probable r-r^> eje]^ par —n et ej par •— r^« On a ainsi pour valeur probable de (12)
3 n.n — il I I I
152. On peut se demander quelle est, entre ces deux évaluations d'erreur à craindre, celle qui justifie le mieux la formule correspondante.
Il ne faut pas se borner à comparer les résultats ; — r-, ( i — - ) et — -ri pour donner l'avantage au plus petit. En admettant que
ces expressions donnent une appréciation de Terreur à craindre, ces erreurs ne portent pas sur la même inconnue. La première est
commise dans l'évaluation de — r^; Tautre, dans celle de — t^* Ce qu'il faut assurer évidemment, c'est la petitesse de l'erreur commise sur k, Soit^ cette erreur, l'erreur sur t sera — jj J"? ^^ sur
^ elle sera, en négligeant bien entendu ^2, — Tâ.Xî '® carré de
l'erreur commise sur — j^. est donc —77 :^^, et le carré de l'erreur
I ^ 1 1 commise sur — r, est T^y -
Les résultats obtenus doivent donc s'énoncer de la manière suivante :
La valeur probable de ^ y^ est -L. ( i — ~ j ;
La valeur probable de jr^y^ est — j--
Par conséquent, eu adoptant la première formule, celle qui déduit k de la moyenne des erreurs, la valeur probable de^^ est
2n \ ir/ 2/1
et, en adoptant la seconde, c'est-à-dire en déduisant k de la B. i3
ig4 CALCUL DES PROBABILITÉS.
moyenne des carrés des erreurs, la valeur probable de^* est
in
La seconde formule doit être préférée.
153. Les formules précédentes peuvent être remplacées ] d'autres qui donnent une plus grande chance d'exactitude. Nous résoudrons d'abord le problème suivant : Déterminer la valeur de \ qui rend minima la valeur pi bable de
Celle expression peut s'écrire
(l5 TT 77 1- A*— - H ^^CiCi.
En remplaçant les erreurs e/ et leurs carrés par les valeurs pr< bables, on a, pour valeur probable de (i5),
i il X* X«(n— i) 1
ou
'ik^\n^^Tz rnz / k^J-jz ^*'
Le minimum correspond à
