X 2 V^TC
\n Tz mzj \ n
Il convient donc, pour diminuer les chances d'erreur, de remplacer la formule
par
1 i/ir k ~
in
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. I gj
154. Nous déterminerons le facteur X par la condition que la valeur probable de l'expression
(.7) (■l-XtUl '^'^---''-'
soit la plus petite possible.
Cette expression peut s'écrire
En faisant le calcul comme au n" 153, on trouve pour valeur probable de cette expression
r^ minimum correspond à
On diminuera donc la valeur probable du carré de Terreur à craindre, en substituant à la formule
la formule, probablement plus exacte,
1 2{e^ ■+• el -+-. . .-4- ej)
155. Les déterminations de la valeur approchée de A* sont en nombre infini.
On peut poser le problème d'une manière différente.
Les observations sont faites, on connaît les erreurs, quelle esf la valeur la plus probable de A*, la valeur probable de k et celle deA-2?
On sait que la valeur la plus probable n'est pas la valeur pro-
bable et que la valeur probable du carré n'est nuUement égale au carré de la valeur probable.
Soient et, ^2, . . . , e/2 les erreurs successivement commises, k la valeur inconnue du paramètre caractéristique de la série d'observations.
L'événement observé étant l'arrivée successive de n erreurs dy ^2, . . ., e,i, la probabilité de cet événement était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit
des probabilités simples.
La valeur de k la plus probable est celle qui rend ce produit maximum.
Le maximum correspond à celui du logarithme
nlA —k^{e\ -i- e| -l-...-hcJ), c'est-à-dire à la valeur de k qui annule la dérivée
j — 2k(e\ -r-el -{-,.. -^ cl),
C'est une des formules déjà obtenues.
Au lieu de la valeur la plus probable de A', on peut chercher la valeur probable, qui doit, en général, être préférée; la valeur probable est l'espérance mathématique de celui qui, après les mesures prises, attendrait une somme égale à k.
La probabilité d'une valeur de k est proportionnelle à
En désignant la somme des carrés des erreurs par S2, on peut . la représenter par
On déterminera G par la condition
CHAP. VIII.. LOI DES ERREURS D OBSERVATION. ig^
qui exprime que la probabilité pour que k soit compris entre o et ao est égale à l'unité. On a
par conséquent,
La probabilité d'une valeur k du paramètre est
La valeur probable de k est la somme des produits obtenus en multipliant chaque valeur de k par la probabilité qui lui correspond
qui se réduit à
Si l'on suppose n très grand, en remplaçant la fonction r(^) par sa valeur approchée
T(x) = e-x^x-i ^-iTzx, on trouvera
peut, n étant très grand, être remplacé par Tunité
et, en supprimant le facteur commun e * *, on peut écrire
Le produit e M n j a pour limite Tunité, et l'on voit aisément que, pour de grandes valeurs de /i, le rapport
a pour limite — r^»
La formule nouvelle est donc d'accord avec celles qui donnent
lorsque n devient très grand.
lo6. La loi de probabilité étant admise, on peut chercher à Tavancc la probabilité d'une combinaison quelconque des résullats des mesures. La valeur moyenne de la quantité calculée, si le nombre des mesures devient grand, différera peu de sa valeur probable.
Nous résoudrons quelques problèmes dont les solutions, remarquables par leur simplicité, permettent d'élégantes vériOcatîons.
Si, après avoir fait un grand nombre d'observations, on les groupe deux par deux en chargeant le hasard de les associer, et que, dans chaque groupe, on choisisse la plus grandç des deux erreurs, la valeur probable de cette erreur peut se calculer : elle est
le produit par \l'i de la valeur probable d'une erreur prise au hasard. La probabilité pour que, sur deux erreurs prises au hasard.
riine soit comprise entre z et z -h dz et l'autre plus petite que z est
[ji premier facteur est, en effet, la probabilité pour que l'erreur, positive ou négative, soit comprise entre 3 et z -h dz; le second, la probabilité pour que la seconde erreur soit plus petite que z. On multiplie par 2, parce que l'une ou l'autre des erreurs cherchées peut être la plus grande et égale à z.
Lai valeur probable de z s'obtiendra en multipliant la probabilité par ;; et faisant la somme pour toutes les valeurs de z
2 f ^e'^'-*dz.z f '^e-^'^'dz,
Jù VTC Jù vît
En intégrant par parties et remarquant que le terme intégré disparaît aux deux limites, cette expression devient
yiz Jo k ^TZ
c'est le produit par y' 2 de la valeur probable d'une erreur.
La valeur probable d'une grandeur quelconque différant peu, sur un grand nombre d'épreuves, de la moyenne arithmétique des valeurs fournies par le hasard, l'application de ce théorème à une série de mesures d'une grandeur connue donnera et a donné à plusieurs reprises une vérification des formules.
157. Le théorème précédent, remarqué expérimentalement par M. le commandant Delauney, peut s'obtenir plus directement.
Soient x« et x^ deux mesures prises successivement, ^ — —
peut être considéré comme une mesure.
En nommant e^ et e^'^ts erreurs commises sur e^ et e^, le carré de l'erreur sur celte mesure nouvelle sera
J^ valeur probable de ei €2 est nulle, puisque les valeurs positives de <?4 et de ^2 ont même probabilité que les valeurs négatives. La valeur probable de (19) est donc
c'est prëcisf^ment la valeur probable du carré de Feireur pour un système de mesures dans lequel le paramètre caractéristique k
serait remplacé par Ay/a.
La valeur probable de Terreur commise sur -^ est donc
7— >-— r"« Mais cette erreur peut être la somme ou la différence des
deux erreurs commises sur x^ et j;2 • 1^ somme, si ces erreurs sont de même signe; la différence, si elles sont de signes contraires. Les deux suppositions ont chacune pour probabilité ^; on a donc, en nommant G et P la valeur probable de la plus grande et celle de la plus petite des deux,
c'est-à-dire
On a aussi
par conséquent,
158. On peut, en chargeant le hasard de grouper les erreurs deux à deux comme dans le calcul précédent, calculer la valeur probable du carré de la plus grande.
LVxpression de cette valeur, obtenue par un raisonnement tout semblable, est
CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 201
En intégrant par parties, faisant porter l'intégration sur ze~^^^*dz et remarquant que le terme intégré disparaît aux limites, cette expression devient
e^^^^^dz étant la différentielle de l'intégrale par laquelle il est multiplié dans le premier terme. On a
4 r*^-A'zv^ r e-k'z^dz=-^;
on a aussi
/ ze-'i^'^* dz =
et la valeur probable du carré de la plus grande erreur est
159. On peut grouper les erreurs trois par trois, en chargeant le hasard de les associer, et chercher la valeur probable du carré de la plus grande des trois.
Un raisonnement identique aux précédents donne pour cette valeur probable
^^ f" z^e-f^'^-'dzl fe-^'^'dz) .
Intégrons par parties , en faisant porter l'intégration sur ze^^*^*dz; en posant, pour simplifier l'écriture,
f 6-^^*=' dz = w ( z),
et n'écrivant pas le terme intégré, qui s'annule aux deux limites, nous aurons
<ao) -^ r"c-Ar«z«TO(-5)«rfi?4- ™ f e-^'^'zm{z)Tn'{z)dz;
mais on a
mV 5 ) --- e-*«-S
/ zw(z)XB(z)e^^^^dz=^ \ €-^''*-'zm(z)= j — -r^ m\z) dz
La substitution de ces résultats dans l'expression (20) donne, pour la valeur probable cherchée,
160. Dans toutes les formules précédentes, que les observations soient faites ou projetées seulement, ce sont les erreurs véritables qui sont introduites.
11 arrivera très souvent (dans l'immense majorité des cas, on peut
le dire) que, la grandeur étant déterminée par les observations
seulement, les erreurs, évaluées par la différence de chaque
*. mesure avec la movennc, différeront des erreurs véritables qui
restent inconnues.
En remplaçant Terreur véritable par Terreur présumée, on obtiendra une valeur approchée de la constante A'. On a proposé, dans ce cas, des règles de correction fort simples, dont la démonstration, malheureusement, peut laisser des doutes.
Le problème est celui-ci :
^,, Xj, . . . , x,i étant les mesures successivement prises d'une grandeur X, si Ton adopte la valeur
^, j^t -i- arj -t- . . . -^ Tn n
Terreur probable est d'autant moindre que n est plus grand, pourvu que Ton ait pu , comme nous le supposons toujours dans ce Chapitre, écarter les erreurs constantes.
CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'obSERVATION. 2o3
La formule
lera remplacée par
ex — a:i)*-i-(X — x^y -h . . . -^ (\ — XnY I
Cette valeur de —Tj n'est pas, je n'ose pas dire exacte (il ne
faut espérer dans aucun cas qu'elle le soit) , mais conforme à la formule qu'on voudrait appliquer.
La formule (22) donnera — r^ toujours plus petit que — r^ déduit de (21). La correction la plus plausible consiste, nous allons le montrer, à multiplier la formule (22) par —^3—; ce qui, lorsque n est grand, en changera très peu la valeur.
L'expression (22) proposée pour représenter —r^ peut être
transformée par l'introduction de l'erreur E commise en adoptant la moyenne X pour valeur de la grandeur mesurée.
Les différences X — ^« , X — X2, . . . , X — Xfi sont rigoureusement égales aux différences E — ^«, E — e^ E — e„, et la
formule (22) peut s'écrire
identique à
mais E, étant l'erreur commise sur la moyenne, est égale à la moyenne des erreurs, et la somme e^ -f- ^2 -^- • • • -H <?« est égale à /lE^ l'expression (22) se réduit donc à
Le premier terme représente la valeur de -v- telle que la for-
mule (21) doit la donner. Cette valeur est diminuée de E^; par conséquent, A*J est plus grand que A*^, et la substitution des ei^ reurs présumées aux erreurs véritables, en accroissant la valeur de /r^, conduit à attribuer aux observations une précision plus grande qu'il ne faut. On a exactement
€| -+- Cj -^- . . . -i- <?n
n par conséquent.
Les erreurs ^/, e// sont les unes positives, les autres négatives, et, les mesures n'exposant, c'est l'hypothèse, à aucune erreur constante, la valeur probable du produit eiet est nulle. On se permet pour cette raison de supprimer le second terme de la formule (aS). 11 peut en résulter une erreur notable^ une grandeur dont la valeur probable est petite est certainement petite elle-même, quand elle est essentiellement positive; mais, quand elle peut, comme ici, changer de signe, la valeur probable étant nulle, cela prouve seulement que les valeurs positives ont même probabilité que les négatives. Elles peuvent être fort grandes. Quoi qu'il en soit, les observateurs, sur le conseil et à l'exemple
de Gauss, suppriment le second terme de (aS) et — r, devient
2^ ~ 2^ ~" 2nk* " aï» \ n J *
on conseille, en conséquence, pour calculer — t^> de diviser la
somme des carrés des erreurs présumées par n — 1 et non par /i, dénominateur prescrit pour la somme des carrés des erreurs réelles.
161. La formule précédente prend, dans un cas plus général, une forme différente, très élégante et très souvent appliquée. Soient X|, Xj, .... X^, p grandeurs de même espèce mesurées
CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 2o5
par les mêmes procédés, avec le même instrument et les mêmes chances d'erreur. Chaque mesure a été reproduite plusieurs fois : la première, /î« fois^ la deuxième, n^ fois, ...\ la dernière, iip fois, les erreurs successivement commises étant e\j e!,, . . , ^ e„^ pour la première mesure; e^ye\, . . . , e„^ pour la deuxième-, e^l*\ e^^\ . . ., e'f^ pour la dernière. La formule (21), évidemment applicable, donnera
I C| ~~~ Cj ^^ ... "*" €^ "+" €j ~t~ Cj ~T~ . . . ~r" C^ —r~ ... -^~ €f ~t~ ... -t~ ^n
Supposons que, les valeurs véritables des grandeurs mesurées restant inconnues, on remplace chacune d'elles par la moyenne des résultats obtenus en la mesurant. Si E*'' est l'erreur ainsi commise sur Tune d'elles, les erreurs apparentes seront
et la substitution de ces erreurs apparentes aux erreurs véritables remplacera, comme on l'a vu (160), la formule (26) par^
e,-f-ej H- ...-+- €„^ Cj -T-6j -f-...-f-e„^
I /l] fU
^ ' aAr* /Il -+- /ij-T-. . .-r- Ai,,
Mais e', , e^, ..., e'^ étant les erreurs commises dans la mesure d'une même grandeur et le paramètre de précision étant /r, on a approximativement
ey — g;«-f-...-4-g;» j
/Il ~" 2 À*
La même réduction peut se faire pour les fractions relatives aux autres grandeurs, et la formule (27) devient
N désignant le nombre total /i^ 4- /i 2 + •••-+- 'ï/» des mesures prises.
2o6 CALCUL DES PROBABILITÉS.
La formule conseillée dans ce cas est, d'après cela,
S (Xi — XiY élanl la somme des carrés de toutes les erreurs présumées et N — p l'excès du nombre total des mesures sur le nombre des grandeurs mesurées.
Si les erreurs réellement commises étaient connues, il faudrait diviser la somme de leurs carrés par N et non par N — p.
La démonstration suppose, malheureusement, que Ton puisse regarder comme nulle la somme des produits des erreurs considérées deux à deux.
162. Les erreurs ^1,^2, ...,^71 étant approximativement connues dans chaque application de la méthode, on pourra, dans chaque cas, vériGer approximativement aussi l'exactitude de l'hvpothèse faite en supprimant le terme Se/e/ .
Cette vérification, si n est grand, entraînerait, il est vrai, des calculs hors de proportion avec l'importance du résultat.
Il est digne de remarque que, dans l'expression
dont les termes, les uns positifs, les autres négatifs, ont tous, a priori, si on les considère isolément, même valeur probable, le nombre des termes négatifs doit, le plus souvent, l'emporter sur celui des termes positifs.
Soit 2[JL le nombre des épreuves. Le cas le plus probable est celui où; parmi les erreurs, il s'en trouverait jx positives et a négatives; le nombre des produits e/C/v dont le signe est négatif se trouve alors égal à [jl^ et le nombre des produits positifs est }jl([jl — i). La différence est [Ji. C'est une raison, dans ce cas, si l'on ne sait rien de plus, pour présumer que cette somme arbitrairement négligée sera négative.
Si Ton nomme jx — a le nombre des erreurs positives et u -t- a celui des erreurs négatives, le nombre des produits e/eiv obtenus
en multipliant une erreur positive par une erreur négative sera
jjL* — a» ; celui des produits positifs est
- ( [x — a ) (' jx -h a — I ) -f- - ( IX — a){ [i — a — i) = jx* -h a* — [i.
Le nombre des produits négatifs sera le plus grand, si Ton a
a» < jx — «2,
La probabilité pour qu^une erreur soit positive est ^; par conséquent, la probabilité pour que, sur 2 [terreurs prises au hasard. V écart, différence entre le nombre des erreurs positives et le
nombre le plus probable [x, soit plus petit que i/~ est (65)
dt -- 0,68.
La probabilité pour que le nombre des produits négatifs l'emporte sur celui des produits positifs est donc plus grande que |.
