La formule

caractérise la précision d'un système de mesures dans lesquelles une grandeur a été successivement trouvée égale à j;,, jra? • • • > ^/i« On peut lui donner une forme plus élégante et plus commode. jp/ et Xi* étant deux quelconques des n mesures, l'expression est identiquement égale à

Les deux formules (28) et (29) sont composées des mêmes termes.

On a, identiquement aussi,

-l.{Ti-xr) .- - ( j .

La valeur de —,- est donc donnée par la différence entre la moyenne des carrés des mesures prises et le carré de leur moyenne. Si toutes les mesures sont égales, l'expression se réduit à zéro. La précision doit être supposée infinie.

164. Lorsqu'on a pris plusieurs mesures d'une même grandeur, calculé la moyenne, déterminé la valeur de la constante spécifique A', cette constante k est souvent nommée \di précision et k^ le poids de chaque observation.

Il importe d'expliquer ces locutions.

La précision d'une mesure est dite a fois plus grande que celle d'une autre mesure, lorsque la probabilité d'une erreur comprise entre z el z ^ dz pour une mesure du premier système est la même que celle d'une erreur comprise entre clz et a(5-Hrf5) pour le second. Si, par exemple, les erreurs commises sur les minutes, en mesurant un angle, ont mêmes probabilités que les erreurs sur les secondes commises en se servant d'un autre instrument, la précision du second système de mesures est dite 60 fois plus grande que celle du premier.

Le poids d'une observation est dit ^ fois plus grand que celui d'une autre observation, lorsque les conséquences que l'on pcul déduire sur la valeur de la grandeur mesurée par une observation du premier système équivalent à celles que l'on peut déduire de ^ observations du second système donnant toutes le même résultat.

Si p n'est pas entier et qu'il soit égal à une fraction —, il faudra que m observations concordantes du premier système puissent être remplacées par n observations identiques du second.

Le système d'observations qui donne à l'erreur z une probabilité proportionnelle à

aura k pour précision et k^ pour poids, si Ton prend pour unités la précision et le poids d'une observation d'un sjslème dans lequel la probabilité d'une erreur z serait proportionnelle à e~*'.

La probabilité d'une erreur comprise entre z el z-\- dz étant, en effet, supposée égale à

^1=. e ** dz,

en remplaçant z par A::;, la probabilité d'une erreur comprise entre kz et kz -+- k dz sera

c'est précisément celle d'une erreur comprise entre z et z-\- dz dans le premier système.

Si l'on suppose k^ = --y la probabilité d'une erreur z étant proportionnelle à

celle de m erreurs égales à 2, commises dans m observations successives, sera proportionnelle à

»—mz*

La probabilité de n erreurs égales à z^ commises dans n observations successives faites dans le second système de mesures, sera proportionnelle à

Les probabilités des deux systèmes d'erreurs sont donc proportionnelles et par conséquent égales pour toutes valeurs de ^, si

Ton a

nk^ = m\

par conséquent,

Le poids du premier système d'observations, celui du second étant pris pour unité, est donc égal à — > c'est-à-dire à A:^.

165. Il est intéressant de remarquer que, si la loi de probabilité n'avait pas une forme toute spéciale, les mots poids et précision, dont les physiciens font souvent usage, ne pourraient pas avoir de sens exact et précis.

Supposons deux systèmes d'observations. Soient, dans le premier, ff{z)dz la probabilité pour que l'erreur commise soit comprise entre z el z -i- dz et ^ (z) dz la probabilité d'une même erreur dans le second système. Pour que le rapport des précisions

soit /i, il faut et il suffit que le rapport ^, soit constant, et

pour que le rapport des poids d'une observation dans les deux systèmes soit égal à A*, il faut que le rapport

soit constant.

Pour que le système caractérisé par la fonction cp(-s) donne, par rapport à un autre système quel qu'il soit, caractérisé par ^{z), un poids déterminé et une précision définie, il faut que le rapport

o (hz)

soit indépendant de z.

Posons donc

(3o) oikz) = 0^{z)'^,

G étant indépendant de Zy et déterminons les formes possibles de la fonction ^{z).

On peut remplacer Téquation (3o) par

l^{hz) = lG-hAlo{z)

et aussi, en prenant les dérivées, par

ho'(hz) ko'(z) o(hz) ~ ^{z)

En posant

CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 211

la fonction F est définie par la condition

^» représentant le rapport -r •

Soit 1 = h^.

On aura

(3i) ¥{tiz) = h}f-¥{z),

La fonction F est donc multipliée par h^ quand la variable est multipliée par h. On aperçoit la solution

F{z)= llzV-, H étant une constante; on en déduit

o{z) devant rester invariable quand on change .s en — 5, l'exposant |JL -H i doit être pair.

Le cas de jx = i correspond à la loi de Gauss.

On a dans ce cas

Le poids A" est le carré de la précision h. L'équation (3i) n'admet pas d'autres solutions; mais la démonstration, d'ailleurs facile, est sans intérêt pour le Calcul des Probabilités.

166. Entre plusieurs mesures d'une même grandeur, celles qui s'écarlent le plus de la moyenne sont présumées avec raison, presque avec ceriitude, être moins bonnes que les autres : il semble naturel de les écarler.

La question est délicate. Les observateurs ne se permettent une telle suppression qu'après avoir reconnu une cause vraisem-

blable et intrinsèque à Tinfériorité de la mesure suspecte. On croirait manquer à la sincérité due en omettant une mesure, d^ailleurs irréprochable, par cela seul qu'elle s'écarte du résultat présumé.

Il est incontestable que, si Ton est certain d'avoir opéré de la même manière et avec le même soin, toutes les observations ont le même droit à exercer leur influence sur la moyenne adoptée. Mais si l'on opérait toujours de la même manière, on obtiendrait toujours le même résultat.

L'assimilation des erreurs fortuites à des tirages au sort dans une urne composée de manière à donner à chaque erreur la probabilité qui lui convient est une fiction, non une réalité. Si Turne existait et qu'elle fût composée avec une perfection infinie, s'il arrivait qu'une série de tirages faits dans les conditions normales démentissent l'ensemble des autres, il faudrait les conserver assurément. Mais si celui qui tirait les boules vient déclarer qu'il a négligé de les agiter, peut-être aussi de plonger la main dans les parties inférieures; s'il a pris et remis sa boule toujours à la surface, les tirages ainsi faits seront à rejeter. Ils le seront également si, le tireur n'avouant pas sa négligence, on le soupçonne d'être peu soigneux ; peut-être aussi , la question est délicate je le répète, si la seule raison de le soupçonner est l'écart observé quand il a tiré les boules.

Cherchons les conséquences de l'abandon des mesures présumées les moins bonnes.

La question se pose de la manière suivante :

On a pris n mesures d'une même grandeur; tout semble régulier, la moyenne est obtenue; la constante caractéristique A:, déduite de toutes les observations, a une valeur très grande; aucun indice n'éveille la défiance. On est en droit de regarder comme très probable la valeur de la moyenne; comme très probable aussi la valeur obtenue pour k, La probabilité d'une erreur z est regardée avec confiance comme égale à

-— €~*'-' dz.

CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 2l3

Dans ces conditions, je calcule l'erreur \ telle que la probabilité pour qu'une erreur soit inférieure à X ait une valeur/? arbitrairement choisie. Il suffit de résoudre l'équation

s/tz Jù

X étant ainsi déterminé, je supprime parmi les n observations celles dont la différence avec la moyenne est plus grande queX; il en restera np à peu près, dont une moitié environ sera plus grande, l'autre moitié plus petite que la moyenne. On recommencera les calculs en considérant ces observations comme les seules.

Supposons, pour justifier la hardiesse de ce parti, que, dans le laboratoire où les mesures sont prises , se trouve un surveillant d'une rare habileté qui, sans observer lui-même, suive des yeux les observateurs, et qui, très au courant des méthodes, très instruit des détails relatifs à chaque instrument, des erreurs de division, des inégalités des pas de vis, des petites imperfections des poids, de l'influence de la température, etc., déclare, après chaque mesure, son opinion en un seul mot : bien ou mal.

Personne ne contestera que, si ce surveillant est, comme nous l'avons supposé, très habile, la suppression des mesures qu'il a condamnées accroîtrait d'autant plus la confiance qu'il en aurait écarté davantage.

Quoi qu'il en soit, acceptant le principe, nous remplacerons les observations Xt^ X2, . . . , ^/i par y 1,^2, . . . , y^j rn différant peu de np. Si ces m observations sont données à un calculateur soigneux, il n'aura pas besoin d'en connaître l'origine pour les déclarer suspectes. Le rapport de la moyenne du carré des erreurs

au carré de la moyenne pourra différer beaucoup de ~ (149).

Pour aucune valeur de A", les erreurs des observations maintenues ne s'accorderont avec la formule

Le calculateur prévenu renoncera à la formule et prendra la

2l4 CALCUL DES PROBABILITÉS.

moyenne

pour représenter la grandeur inconnue.

Soient Si, Sa, . . . , e« les erreurs successives. La valeur du carré de Terreur commise sur la moyenne sera

/ ei-i-e>-h...H-e//, y ef H- e| -^...-he)}, \ m / "" m*

Négligeons eiCi', dont la valeur probable est nulle. La valeur probable du carré de Terreur moyenne s'obtiendra en divisant par m la moyenne

ef -^ £| -+-...-+-£*

peu différente, très probablement, de la valeur probable du carré des erreurs maintenues.

Cette moyenne sera plus petite évidemment qu'avant la suppression des observations rejetées; mais il faudra, pour obtenir le carré de Terreur probable, la diviser par m, et la fraction qu'elle remplace devait être divisée par n.

La valeur probable du carré z^ d'une erreur plus petite que X est, lorsque les autres ont été écartées,

(33) — ^ f z^e-^'^'dz.

Le nombre des erreurs ayant été multiplié par la fraction />, la probabilité de chacune d'elles, dans Tinlervalle où elles sont commises, est divisée par p. Le numérateur de la fraction qui représente la probabilité reste le même, en effet, et le dénominateur, nombre des erreurs commises, est multiplié par p. En intégrant par parties, l'expression (33) devient

P\/t.\ '^k* Jo'^Jo p^ ^ ^k* ' c'est-à-dire, d'après l'équation (32) qui définit X,

AVv^ '^ ^k*" ik*y p^ )'

CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 21 5

En divisant par m, égal approximativement à n/>, on a, pour représenter le carré de Terreur à craindre,

en posant, selon la notation habituelle.

8(A*)w) est, par déûnition, égal à /?, et la valeur probable du carré de l'erreur devient

a/iX:* L e(A-X)

La fonction

lecoj

est noUe pour / = o ; elle augmente avec t et devient égale à Funité pour une valeur infinie de t.

Voici quelques-unes de ses valeurs :

Le multiplicateur de — tj|, évalué approximativement, peut

diminuer sans limite. On ne doit pas oublier que, pour appliquer la formule, il faut que les observations conservées, de même que les observations faites, soient en grand nombre.

2l6 CALCUL DES PROBABILITÉS.

167. La loi de probabilité des erreurs dont l'exactitude a été vërifiëe expérimentalement en quelque sorte (145) permet de prévoir, lorsque les épreuves sont nombreuses , tous les détails relatifs à la série des erreurs commises.

Nous donnerons un dernier exemple en cherchant la valeur probable de la plus petite des erreurs commises dans un grand nombre de mesures successives.

Soit z la plus petite des erreurs commises sur n mesures. La probabilité pour qu'une erreur désignée soit égale k z et soit la plus petite de toutes est

Le premier facteur exprime la probabilité pour que l'erreur soit z\ le second, pour que toutes les autres soient plus grandes que z. Chacune des n mesures pouvant produire cette erreur mînima, il faut multiplier l'expression par /i; puis, pour avoir la valeur probable de l'erreur z dont elle représente la probabilité, il faut multiplier pai» z et intégrer entre o et oo.

La valeur probable de la plus petite des n erreurs est donc

Intégrons par parties, en faisant porter l'intégration sur le facteur quî multiplie z^ dont l'intégrale est

et, en remarquant que le terme intégré est nul aux deux limites, l'expression (34) devient

Lorsque z est petit, —:=l I e^^*^*dz diflfôre peu de kzj et, lorsque

CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 217

z cesse d'être petit, la puissance n placée sous le signe d'intégration est négligeable. On peut donc, en désignant par \ une valeur arbitraire de z^ remplacer (34') par

Ç {\ — kzYdz= î — j-fi — (i-AX)'»+î].

A étant grand et \ n'étant pas très petit, le second terme de la parenthèse est négligeable, et la valeur probable approchée de la plus petite erreur est

(/i-Hi)X:

168. Si l'on calcule par une méthode semblable la valeur probable de la seconde des erreurs classées par ordre de grandeur, on la trouve double de la plus petite; la troisième est triple, et ainsi de suite, tant que les formules d'approximation sont applicables. Il peut sembler étrange que, en classant les erreurs par ordre de grandeur absolue, la valeur probable de la seconde ne soit pas égale à celle de la première. Tout est symétrique, en effet, entre les erreurs positives et les erreurs négatives. Pourquoi la valeur probable de la plus petite erreur négative diffère-t-elle de celle de la plus petite erreur positive?

Elle n'en diffère pas.

La singularité apparente provient d'une confusion qui s'établit entre la valeur probable d'une grandeur et la valeur qu'il est probable de lui voir prendre.

Pierre et Paul doivent se partager un héritage. On sait que l'une des parts, on ignore laquelle, sera double de l'autre.

Les deux parts ont même valeur probable, égale pour chacune à la moitié de la somme totale.

La valeur probable de la plus grande part est double de la valeur probable de la plus petite.

169. La valeur probable - — '■ — rr de la plus petite erreur est

plus petite que la valeur probable de l'erreur commise sur la moyenne.

2l8 CALCUL DES PROBABILITÉS.

La valeur probable du carré de Terreur commise sur la moyenne

€l -f- «t -4- . . . -h en,

égale à la valeur probable de

o ^ "T~ Cç ~T~ • • • —T" C n

est, en effet,

aA-*/i

Le carré de l'erreur commise sur la moyenne étant de même ordre que -> celle de Terreur est de Tordre — i beaucoup plus

grande par conséquent que la valeur probable des plus petites erreurs.

On accroîtrait beaucoup la précision d'une mesure si Ton pouvait découvrir les évaluations les meilleures et les adopter de préférence à la moyenne générale ; il en serait de même si Ton pouvait prendre la moyenne des observations les meilleures. Elles sont malheureusement confondues avec les autres sans que rien les décèle avec certitude.

170. La règle acceptée comme postulalum prescrit, entre plusieurs mesures d'une même grandeur, d'adopter la moyenne. Cette règle suppose deux hypothèses : la première, que nous avons faite constamment dans l'étude de la théorie des erreurs, est l'absence de toute erreur constante; la seconde, que toutes les observations méritent la même confiance et qu'elles aient été faites, par exemple, par le même observateur, suivant la même méthode, avec le même instrument.

Lorsque cette seconde condition n'est pas remplie, il faut apprécier ces valeurs relatives.

Supposons que les constantes caractéristiques de chaque système de mesures soient connues : soient Ati, A'21 . . . , Xth ces constantes, les poids des observations sont ArJ, Âr^, . . . , ArJ^

Supposons que Ton ait ai mesures prises dans le premier système, 0L2 dans le deuxième, . . . , a» dans le /i**"*.

Ramenons toutes ces mesures à d'autres dont le poids soit l'unité et supposons cette unité choisie de telle sorte que ArJ, A'I, . . . , A'I soient des nombres entiers.

Chaque mesure de poids k] sera remplacée par le système équivalent de A"? mesures ayant chacune un poids égal à l'unité. Toutes les valeurs mises en présence ayant ainsi même poids, il suffira de prendre la moyenne, a^ désignant le nombre des mesures de poids k\ et Xt la moyenne de ces mesures, on obtiendra ainsi la valeur

«1 A: J H- Œj X:| -H . . . -h «rt AJ

On peut énoncer ce résultat en disant que chaque mesure est multipliée par le poids de l'observation correspondante et que la somme des produits est divisée par la somme des multiplicateurs.

Le poids de la valeur (35) est

La moyenne entre plusieurs observations équivaut à une observation unique ayant pour poids la somme des poids des observations partielles.

171. D arrive quelquefois que, pour mesurer une grandeur, on la partage en plusieurs parties ai, ^2, . . ., a/,; on mesure chacune d'elles et l'on fait la somme.

Supposons que toutes ces mesures aient le même poids k^.

Quel est le poids de la somme a, + a2 -4- . . . -f- ««?

Soient ei, e^, --., S/i les erreurs, inconnues bien entendu, commises sur chacune des mesures ; l'erreur sur la somme est

on a

Cherchons la valeur probable des deux membres. Celle des pro-

duits tels que e/s/' est nulle, puisque les erreurs positives onl, par hypothèse, même probabilité que les erreurs négatives.

Les valeurs probables des termes tels que ef sont égales (1-48) à

-Tj et, par conséquent, puisquMl y a /i termes, la valeur probable

du carré de l'erreur commise est

Si la probabilité d'une erreur z commise sur la somme était représentée par

la valeur probable du carré d'une erreur serait

Si donc nous posons

k est la précision d'une mesure qui donnerait au carré de l'erreur commise même valeur probable que la somme étudiée.

La confiance méritée par la moyenne de n mesures est inversement proportionnelle à \//i.

172. L'armée française, pendant l'expédition d'Egypte, voulut déterminer la hauteur de la pyramide de Chéops. Les assises successives, formant pour ainsi dire les 2o3 marches d'un gigantesque escalier par lequel on s'élève au sommet, furent mesurées successivement par les soldats du Génie. L'erreur commise 2o3 fois, disait-on, sera multipliée par 2o3. L'erreur à craindre, répondit Fourier, est multipliée par i4, racine carrée de 2o3. On ignore sur quels principes l'illustre savant faisait reposer cette règle, que personne avant lui n'avait proposée.

CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 221

173. Je terminerai ce Chapitre par Tcxainen d'une question très délicate. On a pris plusieurs mesures d'une même grandeur x%,X2y ..., 3CnS elles ne s'accordent pas. Une formule démontrée (163) fait connaître l'évaluation de la précision des observations, déduite de la somme des carrés des différences entre les valeurs obtenues ou, ce qui revient au même, de l'excès de la moyenne de la somme des carrés sur le carré de la moyenne. 11 faut appliquer cette règle avec beaucoup de prudence; elle suppose, en effet, que le mérite des observations soit, a priori, inconnu et que la discordance qu'elles présentent soit le seul indice dont on dispose pour leur appréciation.

Il en sera très rarement ainsi. Si les observations sont faites par un observateur habile avec un instrument excellent, elles méritent plus de confiance, lors même qu'elles s'accorderaient moins, que des observations plus concordantes d'un observateur médiocre. Il n'est pas admissible, par exemple, qu'en détachant sur les registres de Bessel quelques observations d'une même étoile on prétende en déduire une appréciation de son habileté et du mérite de son instrument.

La constante désignée par A*, prise pour inconnue dans les formules trouvées (163), est souvent assez bien connue à l'avance pour que des renseignements nouveaux n'autorisent pas à en changer la valeur.

Le problème alors devient très différent.

La constante qui caractérise la précision du système d'observations étant connue, quelle doit être l'influence de l'accord plus ou moins grand des mesures sur la confiance méritée par la moyenne?

Si, par exemple, on a mesuré les trois angles d'un triangle indépendamment les uns des autres, leur somme se trouvant exactement égale à deux droits, faut-il, pour cette raison, accorder plus de confiance aux mesures que si la somme avait surpassé de o, 25 la valeur qu'elle doit avoir?

La réponse doit varier suivant les cas. Si l'observateur est inconnu aussi bien que l'instrument, on devra appliquer la for-

muie trouvée (163), et la concordance des mesures déterminera la précision présumée des observations.

Si la constante appelée k^ est assez bien connue, a priori, pour qu'on écarte l'idée d'en changer la valeur, la concordance des observations ne doit pas accroître la confiance qu'elles inspirent.

La conclusion semble inacceptable.

Si les observations sont discordantes, si leurs difiiérences dépassent l'erreur probable de l'instrument, peut-on leur accorder autant de confiance qu'avant cet indice défavorable?

Si un observateur, quelle que soit son habileté reconnue, donne du mémo angle trois mesures très difi'érentes, on n'échappera pas à ridée que, ce jour-là, soit fatigue, soit oubli d'une précaution nécessaire, il a moins bien observé que de coutume. C'est sur cette conviction que repose la défiance éveillée par le résultat, et c'est elle, précisément, que nous écartons dans l'énoncé du problème.

L'application du Calcul des probabilités à l'étude des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne faudrait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de probabilité acceptée.

Si l'observateur est malade, si l'on a dérangé les fils de sa lunette, exposé à l'humidité les poids de sa balance, changé son thermomètre habituel, il fait, ce jour-là, le tirage dans une autre urne, les résultats échappent à toute théorie.

Nous écartons, dans le calcul suivant, toutes les suppositions de ce genre. L'observateur s'est appliqué comme de coutume, son instrument est en bon état, les erreurs sont soumises aux chances habituelles; la constante k est connue et ne peut être changée par le succès de quelques observations nouvelles.

Il faut admettre, en outre, pour que les hypothèses n'impliquent pas contradiction, que les écarts n'aient rien d'exceptionnel.

174. Le calcul, lorsque ces réserves sont légitimes, justifie les conclusions qui précèdent.

CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 223

Supposons que n mesures d^une même grandeur aient été prises. Soîent^ij^a» •••> JK/* les erreurs commises successivement. Chacune d^elles est inconnue, bien entendu.

La probabilité d'une erreur comprise entre ;; et z-h dz étant, pour l'observation de rang i,

et les valeurs de ki étant connues, la probabilité du concours des erreurs supposées sera

it»

Soit z la moyenne des diverses mesures, prise en ayant égard à Terreur probable de chacune d'elles, c'est-à-dire (171) en attribuant à chaque détermination de la même grandeur un poids inversement proportionnel à la valeur probable du carré de l'erreur.

On aura

ih^\ , k\y^- \-k\ yt-^...-^klyn

Posons

yn=^-^^n

et substituons dans l'expression de la probabilité (36), considérée comme un élément d'intégrale multiple, les variables ^, ai, a^, - . . , a;i i à^<,^2, . . . , ^«; a« n'est pas une variable indépendante, car on a identiquement

L'élément

A:? «1 4- A'î «i-H . . . -+- A:Ja„= o.

dyxdyt.,,dyn

doit être remplacé, comme on sait, par le produit