M. Bertrand a calculé le moment probable de sa ruine
Pour le banquier, fl < 1, la probabilité pour que labanqr.e
saute est fs". S est le rapport des chances favorables au
ponte, aux chances favorables au banquier; supposons
n est la fortune du banquier, en prenant pour unité l'enjeu de chaque partie ; il y a un maximum pour cet enjeu, d'où pour n un certain maximum ; soit n = 1 000.
La probabilité pour que la banque saute est : / i\i«o r/ IN" - !"
■ou, à peu près, e-**, quelque chose d'extrêmement faible.
Nous arrêterons ici l'étude des cas qui se ramènent à de simples problèmes d'analyse combinai oire.
1. Nous abordons maintenant les théories qui se rapportent à la formule de Slirliug, au théorème de Bernouilli et aux probabilités des causes déduites d'épreuves répétées.
Supposons que les deux événements A et B, de probabilités respectives p et q, soient contradictoires. A chaque épreuve, l'un d'eux se produit certainement, et ils ne peuvent se produire tous deux ; alors
la probabilité totale est égale à la certitude.
On répète m fois l'épreuve : à chaque épreuve l'un des
deux événements se produit. Ainsi, avec un dé, l'événement
A peut être l'arrivée du point 6 et l'événement B celle des
autres points ; p = =• et q = s"
A se produira un certain nombre de fois et B aussi. On demande la probabilité pour que A se produise a fois, et B m — a fois.
On suppose que la probabilité reste la même à chaque
épreuve. Avec le dé, la probabilité est toujours = pour amener le [» tint 6. Au contraire, avec un jeu de 32 caries, la proba-
bililé de tirer un roi est 5 à lit première épreuve ; elle est
ït ou ry à la deuxième, suivant qu'on n'a pas amené ou qu'on
a amené un roi à la première.
2. Cherchons d'abord la probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre déterminé.
AABAABBAB;
les* probabilités de chacun de ces événements seront
ppqppqqpq,
et la probabilité composée, la probabilité pour que tous ces événements se produisent à la fois, est
En général, la probabilité pour qu'il se produise dans un ordre déterminé a événements A et m — a événements B "est
Elle est indépendante de l'ordre considéré.
3. Si l'on veut que les m épreuves donnent dans un ordre quelconque a événements A et m — « événements B, en vertu du principe de la probabilité totale, la probabilité cherchée sera la somme d'aulunt do termes égaux à p'q 1 " 3 qu'il y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de a lettres A et de m — a lettres B ; ce nombre
52 CALCUL DBS PROBABILITÉS
La probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre quelconque est :
c'est l'un des termes du développement de (p -J- q) m .
Si je fais la somme de tous les termes que je puis obtenir en faisant a. égal à 0, à 1,..., km, j'obtiens:
La somme des probabilités de tous les cas possibles doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'un de ces cas possibles se produira, et un seul.
