Quelle est la plus grande de toutes ces probabilités

Je vais calculer le rapport d'un terme au précédent. m — g p^

PI

De mémo en changeant « en a — i :

Pour que u a soit la plus grande de toutes les probabilités, il faut que

Donc :

^ii < i e t J*2 > |,

(m — x)p <{x+i)q et (m — x+l)p > *û, mp — «p < *? + ? et mp — xp + p > «^.

Comme :

»»/j < x + 9 et mp > x — p.

De telle façon que nous arrivons aux inégalités m P + P > * > m P — ?•

D'où une limite supérieure et une limite inférieure pour x. La différence de ces deux limites est p -\- q = 1 ; ainsi x est compris entre deux nombres, généralement fractionnaires, qui diffèrent d'une unité, et comme x est entier, ces deux limites déterminent x.

Il y a exception quand mp j- p est entier ; alors mp — q l'est aussi. On pourrait hésiter pour a ; deux termes consécutifs dans le développement de (p -\- q) m sont égaux entre eux.

Si m est très grand, le rapport — est compris entre p -|

et p » donc — sera voisin de p.

C'est une forme d'établissement du théorème de Bernoullli.

Si je choisis a de façon que w a soit le plus grand possible, le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B sera à peu près celui des probabilités p et q.

5. Quelle est la probabilité pour que a. s'éloigne d'une quantité donnée A de mp f Soit ;

« — mp =■ h.

J'appelle h l'écart et je vais chercher la valeur probable de la valeur absolue de cet écart, ainsi que la valeur probable de son carré.

Soit p, la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a, ;

Soit p 3 la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale & a, ;

Soit p, la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale a a„.

La valeur probable de a est, par définition,

fl,p, + ajPa -h ... + «*P.,

c'est l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme égale à a.

La valeur probable de a 1 n'est nullement égale'au carré de la valeur probable de à. Par définition, la valeur probable de a % est

tandis que le carré de la valeur probable de a est [Un,?,] 1 .

Soit b la valeur probable de a 1 , c celle de a. b — c* = ~£,pi Hafpf — [Etiipi]', carEp, = 1.

CINQUIÈME LBÇON 55

Nous transformerons le second membre à l'aide de l'identité de Lagrange :

SX». SX 1 » — [HXX'] 1 = S (XY' — YX 1 ) 1 .

Nous poserons

X = vfo X' = a t y/pi, d'où:

XX' = Sfpi et:

SX 1 = Zp,, SX'* = Sa, 1 ?/, S XX' = ~(i/pi-

Par conséquent :

b — c* = S (Vp. a* v'pT — Vp* a t \Ç/)* 6 — c 1 = Ep#* (a* — «.)».

Pt et p* sont essentiellement positifs ; donc b — c* est supérieur à zéro, et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand a* = ai.

6. Occupons-nous maintenant de la valeur probable de h, de la valeur probable du module \ h \ de A, de la valeur probable de A*.

Je vais considérer la valeur probable d'une quantité quelconque M ; c'est

SMw-.

56 CALCUL DBS PROBABILITÉS

le second membre est un polynôme entier, homogène et i degré m par rapport à p et y, que je désigne par F (p, y). Cherchons la valeur probable de M»; c'est