J'observe d'abord ce qui se passe pour le terme maximum

Le maximum de «« s'obtient en donnant à a une valeur

qui diffère très peu de mp; alors X est nul, et la valeur du

terme maximum est ~

Cette expression diminue avec m. Il ne faut pas croire que, si m augmente indéfiniment, la probabilité attendue s'approche de la certitude; au contraire, elle tend vers zéro.

C'est là le théorème de Bernouilli, que nous préciserons tout à l'heure.

6. Quelle est la probabilité pour que X soit compris entre X et À + dX?

Je considère rfX comme très petit; tfX sjm est cependant un

nombre entier, ce qui veut dire que dk est de l'ordre de *— *

Si je donne à X un accroissement très petit, l'exponentielle ne changera pas, « a sera sensiblement constant.

La probabilité cherchée est une somme de termes tels que « varie de a à a. -f- A, * et st + k étant définis par :

k =i mp -{- X ym, a + k = mp -f- (X + tfX) y/m, c'est-à-dire :

k = dX \fa.

a doit être compris entre les limites :

a. — mp X + dX ^ ,- >X ' s/m

c'est-à-dire qu'il doit être égal à l'un des nombres :

La probabilité totale est :

Il y a h termes sensiblement égaux à u a ; la probabilité cherchée est :

ou, en remplaçant h par dl \jm, V