PM

Cette fraction a pour limite \f\ quand n augmente indéfiniment. Si nous y remplaçons les facto nelles par leur valeur approchée pour n très grand, elle devient :

(2b)*"»-»" C y'an V*» + i ou :

et, quand n grandit indéfiniment, elle se réduit à - ? -

Cette limite étant la même que la précédente, \/s> on a :

A. Quand deux événements contraires, A. et B, ont pour probabilité respective p et q, de telle sorte que p -f- q = 1 , nous avons vu que, sur m événements, la probabilité pour qu'il s'en produise « égaux à A et m — a égaux à B, est :

Calculons une valeur approchée de «„, en supposant m très grand, et de plus

b = mp + X V»» ,

CALCUL uss PROBABILITÉS. B

iV=<t.

X \'m est très grand quand m est très grand, mais nous supposerons X fini et par conséquent l'erreur relative très

petite, quand on prend mp pour valeur de a,, c'est-à-dire —

voisin de 1.

On a comme conséquence :

m — a. = mq - -k yW

puisque :

Je remplace dans u a chaque factorielle par sa valeur calculée à l'aide de la formule de Stirling.

m m e~ m faim p a q n ~*

* ~ «««-« iJ%Z. {m — «)*-««-(«-«' v'ir'fm"— a)

a* (m — a)*»-" V 2wa (m — a)

En réunissant les termes qui ont pour exposant a et ceux qui ont pour exposant m — «,

/•aw sï\— ■ ./__

\ a / \m — «/ V 2it« ('

a (m — a) {mp + X V»n) (mq — X ^m)

SIXIÈME L.BÇON s a dans « a a pour limite.

— tend vers l'unité ainsi que -; le radical qui entre

îitmp.mq <J%Ttmpq

Nous pouvons écrire :

Lw,, = L . ' — «L — — (m — x) L m ~~*

y/ïicmpq mp v ' mq

on :

Pour m très grand, nous pouvons développer les logarithmes de t + —j== et de I — —J= par la formule qui donne le développement de L (1 -|- x).

Ainsi,

(«.„ + Xv^)L(i-H^)

= (mp + X \S) (-1= - ï%- + — ^T= - -^ v r -r v > \ py / m * p i m T 3^ ^/ m y

Je cherche en ce moment une valeur asymptotique de u a , c'est-à-dire une valeur telle que le rapport de w a à cette valeur tende vers 1 quand m augmente indéfiniment; je pourrai donc, dans le produit précédent, négliger tous les termes qui tendent vers 0, ceux qui contiennent m ou sfm au dénominateur.

Il restera :

J'en déduirai la valeur du produit :

en changeant dans le résultat précédent X en — ). et p en q ; et la somme de ces produits sera, en définitive :

ou :

s - + - * c est-a-dire ; —

Lu» = L ~ „— •

En repassant des logarithmes aux nombres, on i valeur approchée de w B :

Lorsque m crott indéfiniment, le rapport de u, à l'expression précédente tend vers l'unité.