Arrêtons-nous sur quelques conséquences de ce calcul

La probabilité pour que X soit compris entre — oo et |- ao est 1, ce qui parait une tautologie. Cette conclusion n'était pas si sûre : la formule dont nous nous sommes servis était approchée, et vraie seulement si X est petit par rapport

Soit d'abord :

« = mp + X y/m,

la probabilité pour que X soit compris entre X,, et X, tendra, d'après ce qui précède, vers:

quand m croîtra indéfiniment. D'autre part, quand X e et J ( augmentent indéfiniment, l'intégrale tend vers l'unité. Posons maintenant

a > mp (1 — «), et

<l < mp (1 + ,)-

Soit F (i, m) la probabilité pour qu'il en Boit ainsi. Je dis

que je puis prendre m assez grand, s étant donné, pour que

la différence

soit plus petite qu'une quantité donnée i\. Choisissons d'abord un nombre X assez grand pour que

soit plus petite que 3. Cela est possible puisque l'intégrale

tend vers 1 quand X augmente indéfiniment. Une fois X choisi, je prendrai m assez grand :

i 3 Pour que

1 < sp yfm-, d'où:

S* Pour que la différence :

cela est possible, car, pour X donné, la limite de la probabilité

F ( — =» m ) pour m = oo

est représentée par l'intégrale /

On aura alors :

En résumé :

La probabilité pour que a soit compris entre mp (l — t) et mp (1 4- «). quelque petit que soit t, tend vers l'unité quand m augmente indéfiniment.

fi. On peut se demander quelle est la valeur probable de af ; ce sera par définition

Si n est impair, cette intégrale est nulle.

Si n est pair, elle vaut :

Nous avons cherché la valeur probable de l'écart en valeur absolue ; cherchons la valeur probable de la valeur absolue

de as", | œ" \ . C'est

La fonction sons le signe / est paire ; cette intégrale vaut donc :

hx*dœ