Appliquons ceci au paradoxe de M. Bertrand

Dans la première manière de raisonner, les variables étaient w et a, dans la seconde S et p.

Dans la première manière, la probabilité pour que oj fut compris entre tu, et n>, était proportionnelle à o> ( — u> ; pour que t fût compris entre i eti,, elle était proportionnelle à

Cette probabilité se représentait par

If-

dudi

étendue à tous les systèmes de valeurs de u et % qui satisfaisaient à ces conditions.

Dans la seconde manière, nous avons supposé que 6 et p

pouvaient prendre toutes les valeurs possibles avec une

égale probabilité, et nous avons représenté la probabilité

cherchée par

Jf**.

Ces deux hypothèses ne sont pas les mêmes, comme nous l'avons déjà constaté directement. Cherchons le déterminant fonctionnel; on a :

dp = — sin a rfa ; Ce déterminant

rf9 =

rfu -}- d%.

est égal à sin a. Donc la deuxième intégrale est :

il sin a dm da.,

ce qui n'est pas la même chose que la première.

13. Autre exemple. — Soit une droite AB, dans un plan; ses coordonnées tangenlielles sont- et --La probabilité pour que a et b prennent toutes les valeurs comprises entre certaines limites peut être par une première convention représentée par :

ffiatd,

où b —■ a tg eu, si m est l'angle

CALCUL DE3 PROBABILITÉS ut aussi dire : w peut prendre toutes les valeurs i ; d'où pour la probabilité

ffdad..

st pas la même chose, et cette seconde convention, es un examen superficiel , pourrait sembler aussi que la première, est en contradiction avec elle ; en

déterminant fonctionnel est — r— i et

ff"" a =ff^,^ d -