Voici un problème analogue

Sur une sphère S on trace une figure mobile; quelle est la probabilité pour que cette figure satisfasse A certaines conditions ?

Comment définir d'abord la position de cette figure ?

Soit P„ la position initiale, P, la position finale de la figure mobile: on passe de l'une à l'autre par une rotation convenable, définie par l'axe de rotation et l'angle de rotation.

Soient *, fl, y les cosinus directeurs de l'axe, et 29 l'angle de rotation ; posons

X = cos 9, n = a sin 8, * = p sin G , p = y sin 8,

et prenons X, a, v, p comme variables.

Elles sont liées par une relation :

Je retrouve la même rotation, si je change les signes de X, p., v, p, et il suffit de connaître trois de ces quantités.

Je suppose la- probabilité Représentée par une intégrale

triple

elle sera représentée aussi par

Cherchons en effet le déterminant fonctionnel des nouvelles variables X, », p par rapport aux anciennes ji, », p, et supposons À défini en fonctions de >n, », p.

XrfX = — [xrfjjt — Le déterminant fonctionnel est

vrf» — prfp.

Ainsi, au signe près, par le changement de variables l'élément de l'une des intégrales triples devient l'élément de

l'autre intégrale après multiplication par --

f&êdi e i Ç did * d '

donnent donc bien la même définition pour la probabilité. Voici comment se justifie cette convention : considérons la

Ip,

NEUVIÈME LEÇON unes de la composition des rotations sont

y = )l — (tm — vn — pr

m' = \m -f- y.1 — vr + pn / = Xn -f- pir -f- tl — fin p = Xr — pin + vm + p*.

Il s'agit de calculer le déterminant fonctionnel de X' ,[»',* par rapporta X, u., v, p. Je pose :

Ici s=l, mais je puis supposer à X, pi, v, p des valeurs quelconques au lieu des valeurs véritables.

De même :

.'^VV' + I^-K' + P Quelles que soient ces valeurs, on a :

,■ = , V> + «i + »" + ,•*, et sî /, m,n, r ont les valeurs constantes données,

il s'agit de calculer :

CALCUL DES PROBABILITÉS fais porter le nombre des variables à 4, et consi- 1e part a, p, v, p, d'autre part a',i/,»',p'. Comme ■ dérivées partielles de a seront 1 , 0, 0, 0.

le

te if

m le même déterminant fonctionnel ; on peut donc

a y.Li'.vV) àj i £ : £jV ! i) % (X'.u'.v'.p'j 3fX,y,V,p ) = ï(a,!»,»,p) ~~ J(l>,v,p'j' 3 (l,(i,»,p) "3(«,(*,v, P )'

i successivement les trois derniers déterminants is. Le premier est

3igiteedby G00gle

NEUVIÈME LEÇON Le troisième est :

l*e produit des trois est donc .-' et l'intégrale :

drcUdi

-se transforme en :

dpdvdp

rfgA rfg^

La délîailion de la probabilité reste donc la même, quelle que soit la position initiale.

9. On demande la probabilité pour que cette figure P„ satisfasse à certaines conditions.

Si on considère une autre figure P' égale k la première et invariablement liée à celle-ci, on peut demander aussi la probabilité pour que cette seconde figure satisfasse à certaines conditions. Soient alors X, |A, », ? les paramètres de la rotation qui amène P„ en P,, et X', </, v', p' ceux de la rotation qui amène P„ en P, .

La probabilité pour que P , venu en P< , satisfasse à certaines conditions, est représentée par

/dtdva

les paramètres À, |t, », f devant satisfaire à certaines inégalités.

La probabilité pour que P venu en P, satisfasse aux mêmes conditions est représentée par

Jtïdv'de' X '

les paramètres X, u.', *', p' devant satisfaire aux mêmes inégalités. Les intégrales, ne différant que par les notations, sont identiques, et la probabilité reste la même.

Les probabilités pour que deux figures mobiles, égales, et invariablement liées l'une à l'autre, satisfassent à une même condition, sont donc égales entre elles.

10. Choisissons une autre forme où n'apparaîtront pas X p. , v, p.

Je définis la position d'un point M de la figure mobile par ses coordonnées x, y, z et celle d'un arc de grand cercle MP par l'angle <u que fait MP avec MA, MA étant un arc de grand cercle qui passe par un point fixe A,

La probabilité s'écrira

fvdxdydu,

où W est une fonction de x, y. z et o>.

Eu prenant

dxdy = zdn,

da est l'élément de surface de la sphère et l'intégrale devient

f <l>dadtù.

Cette intégrale doit être étendue à tous ceux des éléments

« de la surface de la sphère età toutes les valeurs de l'angle

o) qui satisfont aux conditions. En revenant à x et y comme

variables, elle s'écrit :

11. Je dis que la forme de 4> reste la même quelle que t la position de A.

Considérons un autre point fixe B, et soit «>' l'angle de MP avec MB, p celui de MB avec MA.

Au lieu de a, y, n>, les variables seront ce, y, u>'.

Le déterminant fonctionnel

est égal à :

12. La fonction * est indépendante de <■>, En effet, considérons un autre arc de grand cercle Ml*', et «oit ui* l'angle de MP' avec MA, a l'angle de MP' avec MP.

La loi de probabilité ne sera pas changée

CILCUL DES PROBABILITÉS ime la probabilité pour que MP satisfasse à certaines itinns.

/ *rforf(0°

imera la probabilité pour queMP' satisfasse à ces mêmes itions. Ces deux probabilités doivent être égales, 4> ne ndra donc pas de <d.

i. La fonction * ne dépend pas non plus de x et y. ■ient en effet da et da' deux éléments de surface de la re égaux entre eux. Soient l, m y n, r les paramètres d'une des rotations qui change di en da. Soient X, jt, *,p ceux d'une rotation qui amène la figure mobile dans une position telle que M soit intérieur à da. Soient X',p,',v',p' ceux d'une rotation qui amène M à l'intérieur de du'.

Soient x, y les coordonnées du centre de gravité de du, celles du centre de gravité de da'.

s paramètres X, p.', v', p' seront des fonctions linéaires j*,v, p d'une part, de l, m, n, r d'autre part; on n'a en qu'à se reporter a la formule de composition des rotaciléeplus haut. On aura d'ailleurs, comme nous l'avons us haut :

Ç dttdvdp Çd±

La probabilité pour que M soit intérieur à da est :

les paramètres X, [*, v, p devant satisfaire à des inégalités qui expriment que la rotation correspondante amène M à l'intérieur de da, et l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de ces paramètres qui satisfont à ces conditions La probabilité pour que M soit intérieur à da est :

* (x, y) da = <t> {x', y) da

ou, puisque a

l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de [*', /, p' qui sont telles que la rotation X', p', v', p' amène M à l'intérieur de da; ou, ce qui revient au même, telles que la rotation X, ji, v, p amène M à l'intérieur de da.

14. Nous avons ainsi écrit la loi des probabilités sous une autre forme, mais c'est la même hypothèse que celle que nous avons faite quand nous prenions pour variables X, (t, v, p. En résumé, la probabilité pour que M soit à l'intérieur d'une certaine aire da, et en même temps pour que MP fasse un angle <u avec MA, est

f <t>dadw, et * est une constante à déterminer. .

Etendons l'intégrale à tous les éléments de la sphère; l'angle m variera de à 2tt, et a de à 4*. L'intégrale aura pour valeur

4jt* X 2* = 8it s * ;

mais alors la probabilité sera égale à 1. Donc

fa»" ou J fa..

est la loi des probabilités.

15- Soient, sur la sphère, une courbe fixe et une courbe mobile ; on promet à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection: quelle est son espérance mathématique ?

Elle est proportionnelle au produit des longueurs des deux courbes.

1. Si l'on considère une ligure mobile ? et deux figures fixes?,, <p a , la probabilité pour que f ait une position relative donnée par rapport à (p, est ta même que la probabilité pour que 9 ait la même position relative par rapport à ^ a .

Autrement dit, supposons que X, pt, v, p définissent la rotation qui amène a-, dans une position s' ; prenons comme variables nouvelles X', [*', v', p' qui définissent la rotation qui amène f a dans celte même position ç' : nous retrouverons la même loi de probabilité et nous aurons comme plus haut :

La rotation V, |*', /, p' est la résultante de deux autres, 1, [*, v, p et J, m, 11, r ; cette dernière, celle qui amène * a dans la position ?,, peut être considérée comme donnée, et le calcul du déterminant fonctionnel de [*, », p par rapport à j*', v', p' est le même que dans la leçon précédente.

Cela posé, je ne conserverai pas les paramètres X, j*, v, p, dont la signification géométrique n'est pas simple, et nous reviendrons aux variables x, y et tu de la fin de la leçon précédente.

2. Soient, sur la surface sphérique, M un point de la figuremobile ayant pour coordonnées m, y, x ; et MP un arc degrand cercle appartenant à la figure mobile et faisant un angle m avec l'arc de grand cercle MA qui passe par un point fixe A.

1" Quelle est la probabilité pour que M soit dans une aireda, lorsque u> varie de à 3n?

C'est :

dndia rfs

2" Quelle est la probabilité pour qu'un cercle mobile de la sphère coupe un cercle fixe ?

Soient P le pôle du cercle fixe, A le point où il coupe Ietableau, et l'angle POA.

Soient P', A', 6' les données analogues pour le cerclemobile.

Soit <p l'angle POP'.

La condition nécessaire et suffisante pour l' intersection

est que l'on ait à la fois

en supposant 6 > 8'.

Représentons la zone BCB'C dans laquelle le pôle P' du cercle mobile doit se trouver ; par projection sur le plan du tableau, les deux petits cercles qui la limitent seront figurés par des droites BB', CC ; l'angle POB sera égal à — 6', et l'angle POC à 6 -f 8*.

La probabilité cherchée sera proportionnelle à la hauteur bcde cette zone. Or,

bc = 05 — Oc = cos (6 — 6') — cos (8 + 6') bc = 2 sin 6 sin 8'.

3. Le problème peut être plus général. Soient : 1* n arcs de grands cercles fixes C,,C,„.. C, égaux entre eux et de longueur l ; 2* ri arcs de grands cercles mobiles, invariablement liés les uns aux autres, de même longueur

Je cherche les points d'intersection des arcs mobiles avec les arcs fixes et je promets autant de francs que de points d'intersection.

L'espérance mathématique du joueur sera proportionnelle à nri.

La probabilité pour que CJ rencontre C, est la même que pour que C£ rencontre C,, etc., d'après la démonstration de tout à l'heure.

Elle reste encore la même pour que C,' rencontre C„ etc.

L'espérance mathématique sera d'autant de francs que

ES PROBABILITES maisons de l'un des n premiers onds. Supposons même que ces ;ur t différente de / : l'espérance

lignes brisées formées d'arcs de e mathématique sera encore proçueurs. car. si l'un des éléments n a thématique correspondante dou-

lusion sera encore vraie, et en viatique sera proportionnelle aux jes. Elle sera Km'.

î cercles: leur longueur commune en 2 points; l'espérance mathécomme elle sera égale à 2,

, l'espérance mathématique sera i, il y aura deux points d'inter-

:is trouvé plus haut d'une autre

4. Supposons sur la sphère céleste un nombre N d'étoiles placées au hasard.

Promettons à un joueur un franc pour chaque couple d'étoiles tel que la distance angulaire des deux étoiles, P et P', soit plus petite que y. Quelle est son espérance mathématique?

P' devra être à l'intérieur d'une certaine zone. La surface de cette zone est proportionnelle à sin*i- Pour 7 = s,

la surface est celle de la sphère entière; la probabilité est donc :

Comme les étoiles sont au nombre de N, elles peuvent

former groupes de 2. L'espérance mathématique

est :

Nf N — t ) . .7 ^ 2 aU1 2'

5. Considérons un système mécanique, dont les équations sont mises sous la forme de Hamilton ; n variables, x„ »,..., x„, définissent la position du système ; n variables, y,, y t , ... y„, définissent les vitesses.

F étant une fonction donnée qui dépend des x et des y, les équations auront la forme suivante :

dx, rfF

dt" dudyj rfF dt dXi

On connaît F, c'est-à-dire la loi du mouvement, mais on ne connaît pas les positions initiales.

Représentons les valeurs des variables, au temps / = o, par irj, #£,... irj et yf, y*,... yj-

Quelle est la probabilité pour que ces variables aient certaines valeurs à un temps t donné 1

Si je me donne la loi de probabilité pour que les variables aient les valeurs initiales ci-dessus, le problème devient déterminé. Je suppose que l'on se donne celle loi de probabilité pour les valeurs initiales.

6. Je suppose celle probabilité proportionnelle à S h dxfdx^... dce%dy^dy\... dy£,

k étant une constante.

On peut supposer qu'on ne sait rien sur les valeurs initiales, et qu'on sait seulement que F est compris entre F, et F a ; comme F ~ const. est une intégrale des équations du mouvement (c'est l'intégrale des forces vives), si la valeur initiale de F est comprise entre F t et F„ F restera comprise entre F, et F a .

L'intégrale précédente, étendue à toutes les valeurs qui satisfont à

F, < F < F„ sera égale a 1.

Si cette loi de probabilité est vraie pour les valeurs initiales des variables, elle le sera encore pour les valeurs finales.

11 suffit de démontrer que le déterminant fonctionnel des

valeurs finales par rapport aux valeurs initiales est égal à l'unité.

Soient co\... y"..., les valeurs des ce,... y,... au temps t'; x,... y,... leurs valeurs au temps t.

Il n'y a qu'à établir cette proposition pour t et t' très voisins.

Soit:

Je vais, pour simplifier, examiner le cas de deux variables a; et de deux variables y.

». = «■ + • sr.

. dy. dV

iiF Le déterminant fonctionnel est :

dx t dy, JF

dx f dy %

' dx', JF

dx i dx i