PF

'dy,dy,

dx t dy,

du déterminant sont infiniment petits du premier ordre,

s éléments de la diagonale.

i les termes seront du second ordre au moins, sauf

dx i dy l / \ dx 3 dt/ 3 / \ dx A dy t J \ dx } dy t /

-dire 1 , aux termes près en e *-.

e tout ce qui précède il résulte qu'il faut apporter un and soin à définir le choix de la loi de probabilité qu'on

robabilité pour que x soit compris entre x g et x, s' expar une intégrale

era une fonction sur laquelle nous devrons faire des lèses pour connaître la loi de probabilité, mais en 1 on sera conduit à regarder <p (x) comme continue. [énéral, ia probabilité pour que x satisfasse à une condonnée dépendra du choix de ? ; cependant il n'en est ijours ainsi, et certains problèmes sont indépende la loi de probabilité.

nple. La probabilité pour que x soit incommensu- ;era toujours égale à i, quelle que soit la fonction conque l'on choisisse, et celle pour que a; soit commen- ;, toujours inlîniment petite.

8. Autre exemple. Soit une roue divisée en un très grand nombre de parties égales, alternativement rouges et noires ; imprimons-lui une rotation rapide. Lorsqu'elle s'arrêtera, une de ses divisions se trouvera en regard d'un point de repère fixe : quelle est la probabilité pour que cette division soit rouge ou noire ?

Pour être complètement résolu, le problème exigerait la connaissance d'une fonction arbitraire ; il dépendra de l'impulsion, delà vitesse angulaire initiale. La probabilité pour que cette vitesse soit comprise entre <o et iu, est

la fonction f étant entièrement inconnue.

D'un autre côté, la roue aura tourné d'un angle total 6. La probabilité pour que 6 soit compris entre 6„ et 0, est

Nous ne savons rien non plus sur f (6). Néanmoins, la probabilité pour que la division obtenue soit .rouge, sera toujours très voisine de 1/2 ; elle est donc indépendante de /,

Je suppose que chaque division corresponde à un angle % ; je divise l'axe des abscisses en parties égales à i, et par les ' points de division je mène des ordonnées jusqu'à la rencontre de la courbe

Comme les divisions changent de couleur, je couvre de hachures les aires qui correspondent aux divisions rouges, par exemple.

428 CALCUL DBS PROBABILITES

La probabilité cherchée sera le rapport de l'aire couverte -de hachures à l'aire totale.

Quelle que soit la forme de la courbe, quand te nombre des

divisions augmente indéfiniment, ce rapport tendra vers =■

Soit, eu effet, A l'angle maximum dont la roue peut tourner de telle sorte que 9 < A. Supposons la fonction f (6) continue et admettant une dérivée. Admettons de plus que ■cette dérivée ne dépasse pas un certain maximum, M.

Je divise A en « parties égales ; soit • l'une d'elles.

Considérons deux divisions consécutives : la différence des -deux aires est plus petite que i (p — \t), où p et n' désignent respectivement le maximum et le minimum de f (&) dans «et intervalle. Or (ft — <*') est plus petit que 2M* : la différence des deux aires est plus petite que âMi*.

Comme il y a — aires couvertes de hachures, il faut raulti-

plier par - pour avoir la différence des deux aires totales, ce

qui donne M«'n ou MA-, La différence des deux aires tendra donc vers zéro avec

e et la probabilité sera bien -•

Si on ne savait rien du tout sur * ou sur f, on ne pourrait rien calculer : c'est parce qu'on sait quelque chose que l'on peut entreprendre le calcul. Mais ici il nous suffit de savoir que fa une dérivée limitée.