M. Bertrand présente les objections suivantes

La fonction y a été prise sous la forme (z — x,), tandis qu'en réalité elle devrait être <j> {g. as t .) De plus, on a fait 1(1 (t) = 1, et l'on ne peut l'affirmer a priori.

Autre objection : La moyenne est-elle la valeur la plus probable ou la valeur probable? Ce n'est pas la même chose.

3igiteedby G00gle

S CALCUL DBS PROBABILITÉS

Supposons qu'une certaine grandeur x puisse prendre

tr valeur :

i, 2,..., n — I ou n, lue chacune de ces valeurs ait pour probabilité :

P..P» Patelle sorte que :

-a valeur probable de x sera par définition : ® = P> -f-2p, + ... +np..

.a valeur /a plus probable de # sera celle qui correspond plus grand des nombres p.

)ans le cas du problème des erreurs, la valeur probable t est donc représentée par le rapport :

l dzzty{z)? {œ l ,s)< f {x t , z) ... <f{x n ,z) • j -no

1. Bertrand dit que Gauss aurait dû chercher, non pas la dition pour que la moyenne soit la valeur la plus pro- >le de g, mais la condition pour que la moyenne soit la îur probable de z,

I. On peut chercher à s'affranchir des hypothèses que s avons faites, à savoir que <p (x„ z) était de la forme r — x,} et que -J. (z) était égale k 1 ; on peut se demander lie forme on pouvait donner à ces deux fonctions pour

que la moyenne arithmétique de x t ,w t ,... &„ fût bien la valeur la plus probable de x.

En d'autres termes, cette moyenne arithmétique, comme nous l'avons déjà dit, doit rendre maximum :

♦ M ? («H *) ? (*n *) ••■ 9 («V *)■ Quand il y a maximum, la dérivée logarithmique est nulle; c'est-à-dire que si l'on pose :

on doit avoir :

Cette égalité doit être satisfaite par la valeur de s que définit l'équation :

Je donne à x n œ a ,..., x„ des accroissements dx ( , dx t ,..., dos*. Je suppose que z ne change pas et que la dernière égalité continue à être satisfaite ; ■/ est alors une constante, et :

<&;, -f- t&c, ~t- ... -J- dx n = o.

Ceci ne peut avoir lieu que si :

rfF fa) tfF (a) rfF teg)

154 CALCUL DBS PROBABILITÉS

Donc :

où A' est fonction de * seulement ; et :

B' étant aussi fonction de z seulement.

La condition à remplir devient :

A' {«, -f x t + ... 4-a.) -I- nW + x = o,

c'est-à-dire :

Cette relation doit être satisfaite quels que soient * et n ; donc:

c'est-à-dire que i|< (*) est constant, et :

AV J-B' = o.

Voilà ce que deviendrait l'analyse de Gauss si on voulait la reprendre en tenant compte de la première observation de M. Bertrand.