La valeur probable de N est

gNgg

Sp„ "

11 est un peu plus simple de calculer la valeur probable c'e

N — n, soit :

sp»

£p„ = 2Ap"ï N — ' S (N - ») p„ = SAp" (N - n) j"-.

Pour évaluer le second membre il suffît de différentier

F{p, q) par rapport à q, et de multiplier le résultat par q :

faisons après cette différentiation 1 — ç = p. II reste :

Kn vertu d'une précédente démonstration, cette expression est égale à EAp"(N — n)q*-". Comme d'autre parties =-> la valeur probable de N — n est :

Par suite, la valeur probable de N est :

Cette quantité diffère très peu de -» comme il était prévu. En effet :

4. Considérons maintenant la valeur de p comme inconnue ; je supposerai qu'on veuille connaître quelle est la probabilité pour que p soit compris entre p et p -\- dp.

Ici, la probabilité a priori, gj/, pour qu'il en soit ainsi, sera:

ni = /"(P) dp,

où f{p) est une fonction inconnue de p.

CALCUL DBS PROBABILITES. 10

146 CALCUL DBS PROBABILITÉS

p, sera la probabilité pour que, si n a une valeur déterminée, l'événement observé se produise, c'est-à-dire pour que, sur M planètes, on en observe m.

* = mlU-m\ P r ■

Toutes les valeurs possibles de p sont comprises entre et 1. On a donc:

TSfpi

T,T3 t pt M! /•' „ „ m .. . .

Quel est le nombre probable pour N? Nous multiplierons le numérateur par ' " i et nous intégrerons de à 1. Cette valeur probable N est égale à :

Çp.p-.*±2 f{p)dlf

J p-q*— f(p) dp

Ce résultat dépend de f (p) ; supposons cette fonction égale

I p" 9 "»—> — J— dp — / jr^-dp

jj, ; •'»

J p-q'—dp

(n + 1) rV"-v-"wp

fp-q"— dp

J est le rapport de deux intégrales qui sont encore des intégrales eulériennes.

, r (M + 1) r(M+8)rM

et par conséquent :

jr (. + ,)(M+.)

annoncé.

THÉORIE DES ERREURS. — 5. Je suppose que l'on ait effectué différentes mesures

d'une môme grandeur: quelle est la probabilité pour que la véritable valeur soit comprise entre s et, z -j- dz "!

Il faut introduire une loi des erreurs. Je suppose que la véritable valeur de la grandeur à mesurer soit x ; quelle est la probabilité pour que le résultat de l'observation soit compris entre œ, et *c, -J- dx, f Je pourrai dans tous les cas représenter cette probabilité par

dœ ( <f(x ti i).

148 CALCUL DBS PROBABILITÉS

Cette loi des erreurs étant admise par convention, quelle est la probabilité pour que * soit compris entre z et x -f- dx ?

C'est un problème de probabilité des causes, et nous allons calculer :

VlPi

tSi est la probabilité a priori pour que z soit compris entre z et z -\- dz ; celte probabilité sera représentée par :

t|< étant une fonction qui dépendra de ce que nous savons sur z.

Pi est la probabilité pour que, à supposer que la quantité observée soit z, les observations aient donné des résultats compris entre :

cc i et a;, -|- (te,, x t et » a -f- dx t , ... a? M et œ b -|- (te».

La probabilité respective de ces événements est :

(te,iji (x„ z), (tejif (iCj, *), ... dx„y (œ n ,z).

pt est la probabilité pour que tous ces événements se soient produits à la fois ; comme ces événements sont indépendants, c'est une probabilité composée:

pi = dx i dx i ... tte„ if (■*•,, z) <a (x a , z) ... <? te,, z).

La probabilité a posteriori cherchée a pour numérateur :

dzdx t dx t ... dx„ty {z} 9 {x t , z) (a;,, 7) ... 9 (a:,,, z).

Pour obtenir le dénominateur Uw^c, il faut intégrer cette expression par rapport à ^ seulement. Dans le quotient.

dx„ dx t ,... dx H sont des constantes qui disparaîtront, et il restera pour la probabilité :

^«frfrUfo, *)»(*„*)...» fa,,*)

/ dzty [x'j O (CC,, t) f (tC,, X) ... f (X„, z)

6. Cela ne nous apprendrait pas grand'ebose si nous n'avions aucune donnée sur <p et ty. On a donc fait une hypothèse sur <{., et cette hypothèse a été appelée loi des erreurs.

Elle ne s'obtient pas par des déductions rigoureuses; plus d'une démonstration qu'on a voulu en donner est grossière, entre autres celle qui s'appuie sur l'affirmation que la probabilité des écarts est proportionnelle aux écarts. Tout le monde y croit cependant, me disait un jour M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathématiciens que c'est un fait expérimental.

Voici comment Oauss y est arrivé.

Lorsque nous cherchons la meilleure valeur à donner à x, nous n'avons pas d'autre ressource que de prendre la moyenne entre x,, x t ,... x H , en l'absence de toute considération qui justifierait un autre choix. 11 faut donc que la loi des erreurs s'adapte à cette façon d'opérer. Gauss cherche quelle doit être f povrque la valeur la plus probable soit la valeur moyenne.

t. Si dx est constant, la probabilité pour que z soit compris dans l'intervalle dx est:

150 CALCUL DBS PROBABILITÉS

La valeur la plus probable sera celle pour laquelle cette fonction sera maximum. Supposons ce maximum atteint quand x est le moyenne.

Causa a d'abord égalé la fonction <]> k 1, puis il a admis que ç {& t , z) était de la forme <p (s — x f ).

Quelle doit être alors la fonction f pour que :

"F (* — *i) T (* — ■»»)••- t (* — *■) soit maximum arec celle valeur de z ?

Égalons à zéro la dérivée logarithmique de l'expression précédente par rapport à *:

'Al | f '" — »»J I

y [* — te,) ~ ip (* — a;,) T "* ~ f (r — te) Je pose :

T'y*-*!) = F te.ï

L'équation à vérifier devient :

F fo) + F (*,) + ... + F (*.) = o.

Cette condition devra être réalisée toutes les fois que

Je donne à »,,»,,...«, des accroissements dœ lt d«B tt ...da M ; z restant constant, la somme des œ doit rester constante et on doit avoir :

F' [*,) dx t + F [*,) «te,... + F' («,,) da, = o, die, + <£», -j- ... -|- dx m = o.

Ces deux équations doivent être identiques, d'où :

c'est-à-dire que F' (x,) est une constante que je représente par — a.

F{x,) = a(s — *,) + />, et:

Déterminons les constantes a, 4, c.

F (»,) -f F {»,) + ... + F («*,) = Sa (* — »,) + ni = o, ^i + «j + ...+«■ — iw = — E (* — *i) = o-

Comme ces deox équations doivent être identiques, on a :

6 = o, et l'on peut écrire :

c se détermine par la condition :

/+00 ,(*-», dfc, =1.

'00 En posant :

fW=v/; '-*'■