Une autre objection a été faîte à Gauss

La quantité que l'on doit prendre pour z, ce n'est pas la valeur la plus probable, c'est la valeur probable. En effet, la valeur la plus probable est celle qui correspond à la plus grande valeur de p ; elle peut être très différente de toutes les autres, tandis que celles-ci peuvent se grouper très près l'une de l'autre, ce qui donne fort a croire qu'elles diffèrent très peu de la véritable valeur. Elles n'interviennent pas dans la valeur la plus probable, tandis qu'elles contribuent toutes à la valeur probable qui est par définition :

Xfa -f- ŒjP, -|- ... + X n p„.

La valeur probable de * est :

f *K*)9(*„*)ç(*„ s-)...? {x a ,x)dz

+ (*) f (*„ x) f (œ a , x) ... ? («.. *) dx

(Les deux quantités sous le signe f ne diffèrent que par le facteur x qui figure en haut).

[1 faut choisir ty et ^ de façon que cette valeur probable soit la valeur moyenne :

2. Pour cela, je suppose que p observations aient donné le résultat a>, ; p autres, le résultat x a ; ... enfin, p dernières, le résultat œ n . C'est un même nombre p et je le suppose très grand.

Les deux intégrales porteront sur p facteurs égaux à t ( a; o *)' sur P facteurs égaux à 9 {x a , -s)...; sur; facteurs égaux à ^ (x n , z).

Je pose :

• = t( f (' J )T("i«')-»k J )' 11 s'agit de vérifier :

■ La .-. «.+«. + .- + «■

Cette égalité devra avoir lieu quelque grand que soit p. Si, au lieu de deux f> nous avions le rapport de deux S, nous aurions à considérer le rapport :

q.Xf + a ,XE + ...-r-q,,XS i,Xï+ t> t Xi+... + b n Xf'

où lesX ( , X,, ...X, seraient fonctions des o> )t aï,, ...abêties a„ a„ ... a., £>,, 6„ ... ô„ fonctions de *.

Je suppose positives toutes les quantités X. Quelle est la

158 CALCUL DBS PROBABILITES

limite de ce rapport quand p croit indéfiniment ? Soit X ( la

plus grande des quantités X : la limite sera .-'■■ En effet, ce rapport peut s'écrire :

seule, celle qui correspond à À- = i. Donc, quand p augmente

indéfiniment, le rapport considéré a bien pour limite --• Étendons ce résultat aux intégrales :

Tip, (*) <fdz et ff t {z} **<(*■.

f t (x) joue le même rôle que a,, et ç , (*) que b t . Quelle est la limite du rapport de ces intégrales? Soit z„ la quantité qui rend * maximum. Cette limite sera :

îiJfnl,

c'est-à-dire ici :

«■♦ lai , ♦ («.) "'

Cette quantité z a doit être la moyenne arithmétique.

8. Nous revenons à la même question que précédemment : * doit être maximum quand z est la moyenne arithmétique. Nous connaissons la condition pour qu'il en soit ainsi; c'est:

les dérivées, A' et B', des fonctions de r, A et B, étant liées par :

Quand on suppose que y dépend seulement de la différence z — w t , sa dérivée logarithmique par rapport à *

A'aj, -|- B',

doit être du premier degré en z — ce, ; alors

? {? x 4 ) = Ce*'* 5 -*'»'.

A' et 6 («,) sont constants.

Dans le cas général, c'est-à-dire quand on ne suppose pas que f dépend seulement de x — a?, , il reste pour f (a?, , z) trois fonctions arbitraires à déterminer : d'abord <(< (*), que l'analyse actuelle ne permet plus de déclarer constant comme dans le calcul de la valeur la plus probable ; puis 8 (œ ( ) ; puis A. Quant à B, il est lié à A par une relation.

4. Il s'agit de déterminer un peu plus complètement ces ' fonctions arbitraires.

Je vais supposer p observations donnant pour résultat as { : la moyenne arithmétique sera x K ; alors :

* = 8( £0l )e AB '+ B , et l'on doit avoir :

fxlf (z) Wd* = 0, /*+ {z) Wdt ;

d'où ;

6" f{* — a,H (*) e"**'-*- 6 ' dz = o.

CALCUL DES PROBABILITÉS relation doit être satisfaite quels que soient p et te, u sortir du signe (puisqu'il ne contient pas z, et pourrons le déterminer par cette condition.

erchons ^ (g).

- B est une fonction de z qui atteint son maximum

= x, ; soit u„ a ce maximum. Je puis donc poser :

Aa ( +B = mï — u 1 ;

éel.

!me

f\z-œ A )+{z)dx

intégrale qui est toujours positive, et ne s'annule r z = ce, ; je puis donc la poser égale à p', d'où :

Aœ, -(- B = ag — a\

(* — *,) 4 (*) dz = 2»rft>,

achever de définir u et u il faut s'en donner le signe, . avons seulement détini u 1 et »*. Nous conviendrons îr à u et à u le signe -\- si a est plus grand que a;, ne — dans le cas contraire ; y et v sont donc tou

même signe.

!urs :

uj = A (»,)», + B (a;,), grale examinée devient, en faisant sortir une cons-

fîvdv e

TREIZIÈME LEÇON Je puis supposer v exprimé en fonction de u :

2vdo = f{u)dv, et alors :

fn<

doit être nulle, quel que soit p, lorsque les limites sont -»et + ».

6. Cela ne peut arriver que si f(u) est une fonction impaire. En changeant u en — w, on aurait :

/>(-«) «-"*rf» = o,

d'où:

fv M + n- <•)]•-" *> = o.

Cette relation doit être vraie quelque grand que soit p. Si/"(w) est impaire :

Si f{u) n'est pas impaire, je développe suivant les puissances croissantes de w. L'intégrale ne pourra être égalée à zéro quel que soit p.

En effet :

/"(«)+/■(-«) = «*»-!- pii»"+»... Je vais poser :

CALCUL DES PROBABILITÉS, tl

l'intégrale va devenir :

el elle doit être identiquement nulle.

Si nous multiplions par p" + î tous les termes, le premier ne contiendra plus p, et les autres le contiendront encore ; l'intégrale, au facteur prèsp"+ï, se réduira sensiblement pour p très grand à

J -oo

qui n'est pas nulle.

Donc f («) doit être fonction impaire de m.