On a posé

(*-«,) + (*)* = /» ib.

Différent ions, en considérant x, comme constant, l'autre équation en w,

A*, +B=«3— u 1 ; il vient :

ds[K'x, + B') = — 2wrfw;

or, en tenant compte de la relation

A'jr + B' = 0, \x, + B' = A'», — A' z = — A' (* — œ,).

Donc :

A (z — x,) dz = 2urfw,

d'où :

A' ~~ Su

£-*-• est une fonction paire, donc *-±J ne doit pas changer quand on change w en — u.

Or * ;, n'est pas une fonction de u, mais une fonction

de x indépendante de x K : je dis qu'elle doit se réduire à une constante.

En effet, je considère deux valeurs quelconques de t, x K et *,, pour lesquelles A et B prennent respectivement les valeurs A, et B,, A, et B, ; je vais choisir a, de façon que :

uj — u 1 reprendra alors la même valeur pour z A et »,.

Donc -^— - qui n'est fonction que de u 1 reprendra aussi la

même valeur et on aura :

t ial * (ai

Donc *-^H est constant.

8. Ainsi la manière la plus générale de satisfaire au postulat de Gauss (modifié conformément à l'objection de M. Bertrand, à savoir que la moyenne est la valeur probable], se traduit par :