Traitons comme exemple

Les % ne peuvent être pairs que si : 1' i,= i, et les autres nuls ; ou 2 ° s, = « 3 = 2 ; ce qui conduit à :

Sy) -ffiSyfy! + H.

R est l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est

4 ' nulle ; le coefficient de Ey -f y\ est .,^ = <î.

Traitons encore :

Les a no peuvent être pairs que si : 1° a, = 6 ; ou 2° s, = 4,

«, = 2; ou 3 e a, = *, = dj = 2.

R étant l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est

nulle, on a :

Le coefficient de ïj/{yî est , 1 , = 15; le coefficient de

Je m'en vais convenir de désigner la valeur moyenne de yî par M p . D'abord la valeur moyenne de (y, +-■■ + y 3 + y„) 4 sera :

En effet, dans £y] tous les termes ont la même valeur moyenne, et il y en a « ; dans ïy'/^, tous les termes ont la

même valeur moyenne et il y en a -*— '■

La valeur moyenne de (y, -\- y a + ... + y«)' sera ;

(y t +yi+-4-y^*=t»M,+i5ii(w-l)M < M 1 +90 wf "~y ,l ~ 8 ^H-

Dans SyJyJ, il y a autant de termes que d'arrangements den lettres 2 à 2; le coefficient de M 4 M a est donc 15n{n— l).

10. On pourrait poursuivre avec d'autres valeurs de 2/> ; les expressions deviendraient de plus en plus compliquées.

Tenons compte de ce que n est très grand ; il y a dans le second membre des termes en n, en n % , en n*, etc.

A titre d'approximation, ne considérons que les termes du

degré le plus élevé on n. Pour 2/> = 4, ce terme est 3n a M] ; pour 2p = 6, ce terme est 13»'M|.

Ainsi l'erreur moyenne :

e valeur probable de sa quatrième puissance :

et de sa sixième puissance :

Calculons cette valeur probable en général :

i»,+»,+...+ïj''=2[^ii^,..^].

Dans le second S on ne permute que les indices des y. Ne conservons que les termes où tous les % sont pairs ; les autres ont une valeur probable nulle. Il vient :

i». +*+- +n.)" = s ,,! jr.'v nm '. m - ■• m v

Tous les termes sous le second S,

ïyï'j/ï» •■■y*'*.

ont, en effet, la même valeur probable. Soit N leur nombre ; évaluons N.

11. Je suppose d'abord «, = a,. Si nous permutons y, et y.j, nous retrouvons le même terme. Si nous tenions compte

de l'ordre, nous aurions autant de termes que d'arrangéments2à2deulettreschoisies dans les n lettres y^y,, — S/ai nous pourrions ainsi avoir des termes répétés.

Si les ^ exposants étaient différents, N serait égal au nombre des arrangements de n lettres p k p, c'est-à-dire

égal à '■ — ;■

Je suppose fi., exposants égaux à a,, 51, à «,, ... u K h * K ; de plus, je suppose a,, a a , ..., a K différents, et :

Je considère l'un des arrangements formés avec ces exposants ; j'y permute d'une manière quelconque les [a, lettres dont l'exposant est a,, les ii a lettres dont l'exposant est a t , ..., les (i K lettres dont l'exposant est a R . Je ne change pas le terme correspondant; par conséquent, ce même terme serait reproduit par :

arrangements.

-|*: fi,! s* s ! ... ;*„!

M "fo-"-f*--* + *> , [x, ! (x a ! ... [i K !

Ainsi N est un polynôme du degré j* en m.

La plus grande valeur que puisse prendre p est p.

En effet :

Les a étant tous pairs, la plus grande valeur de ja correspondra à :

Il n'y aura donc qu'un seul terme de degré p, par rapport a m, dans N; avec notre ordre d'approximation, c'est le seul que nous devons conserver. Réduit à ce terme, N a la valeur suivante :

En effet, tous les a étant égaux, il en résulte que les lettres fi,, |x a ..., pi se réduisent à :

Dans N, le terme en n" est :

13. D'autre part, a,, <t t , ... a^ étant égaux à 2 : M a i = M„ = ... = M a[[ =. M iT où Mj est la valeur probable du carré d'une erreur individuelle ,

La valeur probable de (y, -f- y % -f- ... -\- y„) ip est donc :