Posons le problème d'une autre manière

On a commis dans les observations un certain nombre d'erreurs individuelles, y { , y a ,... y„, indépendantes les unes des autres ; l'erreur totale est :

V = V\ "KVî +-- + #»■

Supposons d'abord que toutes ces erreurs suivent la même loi, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques. Le problème est le même.

La valeur probable de y''" + ( sera nulle.

Nous avons évalué dans la dernière leçon ta valeur probable de

Ici nous avons à chercher la valeur probable de (î/. +Vt+ ■■•+»»)

La probabilité pour que y t soit comprise entre « et fi, lieux limites données,

j f {pi) dyt

est la même par hypothèse pour y,, y 3 , ..., y n .

3igiteedby G00gle

Il nous suffit de multiplier le résultat obtenu pour la valeur probable de ( "' +? » + " + "• )", c'est-à-dire |i (g>)', par n ip , pour obtenir la valeur probable de y %p :

et, en posent nM, = M,

Sp!/My

Ainsi la forme de cette expression reste la même, et, en raisonnant comme dans la dernière leçon, on conclurait que la probabilité pour que l'erreur totale y soit comprise entre deux limites données reste conforme à la loi de Gauss.

2. Ce raisonnement n'est pas encore satisfaisant, parce qu'il est peu vraisemblable que toutes les erreurs individuelles suivent la même loi. Supposons que la loi ne soit pas la même, mais que toutes les erreurs individuelles soien t sensiblement du même ordre de grandeur et que chacune d'elles contribue pour une faible part à l'erreur totale ; soient :

/•P la probabilité pour que y, soit compris entre x ist 9 ;

la probabilité pour que y s soit compris entre a. et ji ;

la probabilité pour que y„ soit compris entre a et f).

Je suppose toujours œ,, ?t,-.. 9* fonctions paires, autrement dit qu'il n'y a pas d'erreurs systématiques.

Je prends la somme M des valeurs moyennes des carrés des erreurs,

Si tontes les erreurs particulières suivaient la même loi, on aurait la même valeur M, pour y], yj, ..., yf, et la somme M serait nM 3 .

Je me bornerai au calcul correspondant aux premiers exposants.

En supposant que toutes les erreurs suivent la même loi, nous avons trouvé que la valeur moyenne de y' est M ; celle de y», 3M»; celle de y', 13 M» ...

Refaisons le même calcul en supposant la loi différente pour les différentes erreurs individuelles. J'observe que le produit y",'y'J a pour valeur moyenne la valeur probable de y7) multipliée par la valeur probable de y\. En effet, la valeur probable du produit y"tp'i sera représentée par

ffti (*) ?■ Cv a ) r7y3<fy<4ri;

le produit des valeurs probables de y? et de yj sera représenté par

fit (y«) yT rfy./?i (y a ) yï <*y % .

Le théorème reste donc vrai dans ce cas-ci comme dans

le précédent; et si m est impair, la valeur probable sera

nulle.

La différence, c'est que les valeurs probables de yf, yj,

■ ■■i î/«i ne sont plus égales entre elles.

Remarquons aussi que les quantités y„ o s , ... s>„ sont

censées du même ordre de grandeur.