H- .< = A„ *, + «. + «» + 3t,:=A,; d'où

3 {., + « s + <„) -J- 3., = A, + A, + A 3 , et:

et ainsi de suite.

Ce procédé est ici plus commode que l'autre. Il y a neuf angles et quatre équations de condition, d'où cinq arbitraires ; nous avons eu à résoudre quatre équations à quatre inconnues, et par l'autre méthode nous aurions eu cinq équations à cinq inconnues.

4. Autre exemple. — On a visé un certain nombre de points M,, M,,..., M„ qui ne sont pas en ligne droite et qui devraient l'être : quelle est la droite la plus probable ?

Il s'agit de déterminer n nouveaux points en ligne droite, de telle façon que la somme des carrés des erreurs soit minimum.

224 CALCUL DBS PROBABILITÉS

L'erreur est double : elle porte sur l'abscisse et elle porte sur l'ordonnée. Si je suppose que la probabilité d'une erreur sur l'abscisse soit la même que la probabilité d'une erreur sur l'ordonnée, la somme des carrés des erreurs sur l'abscisse et sur l'ordonnée sera la somme de quantités telles que S^P?.

Nous avons besoin, en réalité, non des points P ( , mais de la droite D qui passe par les points P, : je dis que M<P ( doit être perpendiculaire à D.

Si elle ne l'était pas, soit M ( PJ cette perpendiculaire; en remplaçant M f P, par M ; Pf, je diminuerai la somme qu'il s'agît de rendre minimum, et par conséquent elle n'était pas

Je ne m'occupe plus des P : je vais chercher une droite telle que la somme des carrés des distances des points M ( à cette droite soit minimum.

C'est le moment d'inertie des points par rapport à cette droite qu'il faut rendre minimum, en supposant que chacun des points ait été afFecté d'une masse égale à 1.

Comme première propriété, la droite passe par le centre de gravité. Si on Fait tourner la droite, on sait que le moment d'inertie varie suivant une loi très simple, qui amène à la définition de l'ellipsoïde d'inertie. Ici, cet ellipsoïde serait infiniment aplati, puisque les points sont dans un plan ; la droite est donc le grand axe de l'ellipse à laquelle il se réduit. Cette ellipse d'inertie serait d'ailleurs une ellipse très allongée, puisque les points sont sensiblement en ligne droite.