Nous avons cherché à rendre minimum

ÏA, („-«,)',

où h t est le poids de l'observation i.

On peut ramener le problème au cas où tous les poids sont égaux. Posons

*l = z t ^h s = v^F, («,. u„ ... «„) et:

tel = tc t ijkt ; alors :

k, [*, - m,)» = (V*>i - vW = (*/ - ■/!■,

et on a à rendre minimum une expression telle que :

2. Nous avons vu que l'on pouvait diriger les calculs de deux manières. Voici un exemple de chacune.

Premier exemple. — On observe un point M d'un certain nombre de stations S,, S a , S s , .... dont la position est parfaitement connue; on mesure l'angle de MS,, par exemple, avec une direction fixe MS , en d'autres termes l'azimut de M, soit f, ; et ainsi de suite.

HO

CALCUL DBS PROBABILITES

Quelle est la position la plus probable du point M d'après ces visées?

Soient m, y ies coordonnées de M; a/, h, celles de S/; T , l'angle de MS, avec MS a pris comme axe des abscisses.

fi = arc te * -■

Les équations en y sont, en général, incompatibles, les lignes de visées ne passant pas exactement par M et formant autour de ce point un petit polygone.

Un point quelconque pris à l'intérieur de ce polygone era une première approximation, M (#„, y„). Je pose

y = yo + *);

5 et ï| seront de très petites quantités.

Posons :

?< — Y? + •»!• (Dans le cas de la figure 19, m, serait négatif).

D'ailleurs :

op = arc tg *■ '•

Développons <p ( suivant les puissances croissantes de l et t|, en nous arrêtant aux termes du premier degré.

ti K — ai) — S f.v» — *|)

Alors :

<a ( = n — tP = Aiî -f B rt .

La valeur observée de s ; est ^,- :

t^sera la valeur observée de wi. Les équations que donnent les observations seraient les suivantes :

Ces équations sont, en général, incompatibles, parce que les observations ne sont pas exactes ; il faut choisir l et n de façon que

s (A(ï + Bpi - t,y

soit minimum.

le différentie par rapport à \ et à -r ; :

SA, (ÀJ + B/ri - «J = 0, BfctAJ + Bfl-ijJ^o; d'où deux équations linéaires pour déterminer S et ■»] :

EEA 1 + tiSAB = SA», tSAB + tiSB* = EBi.

S. Deuxième exemple. — Supposons qu'on ait mesuré neuf angles : soient z t les valeurs de ces angles, x ( les valeurs observées, y t les erreurs. Imaginons qu'on ait entre ces neuf angles les quatre relations de condition:

h { étant une quantité très petite donnée par l'observation, l'excès sur deux droits de la somme des angles observés,

d'où :

De même :

y* + y a + yj = ft c

y ( + ?» + ?. — Ky-, 4- .va 4- y. — Aj-

La quatrième équation de condition exprime:

Il s'agit de déterminer les y de façon que la somme

soit minimum.

Je vais introduire quatre quantités auxiliaires, c,, t t , t„ e 4 , correspondant aux quatre quantités A,, A,, A 3 , k À Ainsi, pour y 3 , je me servirai du coefficient de y 3 dans la première équation, où il est 1, puis dans la deuxième, puis dans la troisième, où il est 0, puis dans la quatrième, où il est 1.

DIX-HUITIÈME LEÇON On trouve de même :

Pour déterminer les ■, je remplace les y par leur valeur : 3., + ., = A ( ,