La formule qui donne une valeur approchée de n\ est

n ! = w"e-" \Jn F (w).

F (n) tend vers une limite, v'27r, quand n augmente indéfiniment.

n + 1! =(n+ !)« + < e-C' + Oy/^ | i F (n-}-!). On en tire :

^ F(n) -^-r + -2)^(^+nj-

Il s'agit de savoir si F (w) va en croissant ou en décroissant avec w, c'est-à-dire si le logarithme du premier membre est positif ou négatif.

Je divise le second membre par n + ^; il reste :

Je pose n = — et je considère la fonction

c'est-à-dire

o [x) est-il positif ou négatif"? x varie de 0 k 1 .

Pour a- = 0, tp io) = o; pour a; = 1, o (1; = ^ — L2.

Comme L2 = 0,69 , (p (1) est négatif.

Il faut voir si la dérivée s'annule :

? W — (ic L 2)2 a; + l'

A < 4 (ar -f j] — (a; + 2)^ (a; + 2)2 a; + 1 - (o; -f 1) (ar + 2)=

Le dénominateur est toujours positif; le numérateur est égal à — a?2. o' (x) est toujours négatif, par conséquent f{x) décroît; donc elle reste négative et

Si :

et Ton a :

c'est-à-dire :

On a aussi :

F (ac)=v'2^.

F(n) va toujours en décroissant, mais la décroissance n'est pas très grande, car

e = 2,8 et v2^ = 2,5