Ecrivons la valeur de ^(a
m'" . / fn F [m]
Il s'agit de trouver une limite supérieure de cette expression. D'abord
F (m) < F (m— a), donc :
F (oc) F (m — a) ^ F (a)"
Or f=r-,— X est lui-même plus petit que "7=-5 ^^ valeur asymp-
totique de «« est en même temps une limite supérieure.
6. Quelle est la probabilité pour que a soit plus petit que tm ?
Cette probabilité, n, est :
Il = Wo + ^1 + ••• + "P' avec :
Je suppose :
Je vais d'abord écrire :
P -|- 1 = ^^• icq, u^,... wp vont en croissant.
Nous avons une limite supérieure de wp + ^; si donc „ A'"em
V27rwee
OU
Soit maintenant :
Alors :
Il s'agit de trouver une limite supérieure de u^ ; je pose :
A = cp (e).
Si -^ était égal à e, on aurait :
-<[Ki)]Vsâ
Or A est une fonction de e qui va en croissant avec e jusqu'à e = p, et 9 (e) > ç. ( — V
Comme il s'agit d'avoir une limite supérieure,
D'ailleurs p est supérieur à em — 1 :
P > em — 1, m — ^ > z'rn — 1. Donc :
Pour en revenir à H, inférieur à wp (8 4- 1), nous remaiv
querons que [i -j- 1 est lui-même inférieur à e.m -]- 1 ; et nous arriverons finalement à une formule un peu plus compliquée que pour tm entier :
tm entier, Il < A"
. / em
em non
entier, n < A'» 1/ —-^ =^^-^^ jr
V 27r Um — 1) (zm — 1
Ainsi :
La probabilité pour que a soit plus petit que em, si e est plus petit que p, est toujours inférieure à l'une ou l'autre quantité que nous venons de calculer ci-dessus.
Cette probabilité tend vers zéro quand m croît indéfiniment, pourvu que t <C p. C'est le théorème de Bernouilli, qui peut s'énoncer encore ainsi :
La probabilité pour que oc soit compris entre mp (1 — 0) et mp {i •}- b) tend vers l'unité quand, 0 restant constant, m croît indéfiniment.
7. Nous avons été amenés à considérer un nombre très grand de cas possibles, mais ce nombre restait fini. A certains moments, nous avons envisagé des questions de limites
et remplacé les S par des /•
Nous allons arriver aux problèmes où le nombre des cas possibles devient infini.
Il faut bien définir ces cas, et un paradoxe de M. Bertrand mettra bien en évidence le genre spécial d'erreurs que ces problèmes peuvent entraîner; il s'agit de la question suivante :
Quelle est la probabilité pour qu'une corde d'une circon-
férence donnée soit plus grande que le côté du triangle équilatcral inscrit?
M. Bertrand traite le problème de deux manières, et les résultats sont absolument opposés.
Soit AB la corde ; nous prendrons le rayon OA comme unité, les coordonnées polaires de A seront 1 et 'o.
Soit 'j. l'angle AOM , OM étant la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde, P le point où cette perpendiculaire rencontre la courbe et M le milieu de la corde.
L'angle VOx, ou 0, est égal k % -\- m.
FiG. 3.
8. Premier raisonnement. — Le point A peut se trouver en n'importe quel point de la circonférence. La probabilité pour que oj soit compris entre ioq et w, est proportionnelle à
la différence * -^ — -• Le point A déterminé, la corde peut
prendre toutes les directions possibles, c'est-à-dire que, A étant choisi, je puis faire prendre à a toutes les valeurs
possibles entre 0 et ^
La probabilité pour que a soit compris entre x^ et x^ est proportionnelle kx^ — %^. Si AB était le côté du triangle équilatéral inscrit, % serait égal à 60".
Comme a peut prendre toutes les valeurs de 0° à 90°, la probabilité pour que la corde soit plus grande que le côté
96 CVLGUL DES PROBABILITES
du triangle est :
9. Deuxième raisonnement. — La corde peut avoir une direction quelconque. La probabilité pour que 6 soit compris entre 6^ et 6, est proportionnelle à ô, — ô^.
Cette direction une fois choisie, je trace OP : la droite AB sera définie quand je connaîtrai le point M, c'est-à-dire la distance OM =^ p ^ cos a.
p peut prendre toutes les valeurs de 0 à 1 ; on doit admettre que la probabilité pour qu'il soit compris entre po et p, est proportionnelle à p^ — p^.
Si OM est compris entre 0 et -» la corde est plus grande
que le côté du triangle.
Y La probabilité sera donc •
Pourquoi cette contradiction ? Nous avons fait des hypothèses diflerentes dans les deux cas, nous avons défini la probabilité de deux manières différentes.
10. D'une manière générale, on demande de définir la probabilité pour qu'un nombre x soit compris entre x^ et x^ : en général, nous pouvons dire que nous n'en savons rien du tout.
Cette probabilité doit dépendre de x^ et de îc, : ce sera donc une fonction telle que V [xQ^x^).
Si nous cherchons la probabilité pour que x soit comprise entre x^ et a?2 ,
Xq <c. x^ <Z. x,j^
en vertu du principe de la probabilité totale, cette probabi-
lité sera :
P (a;o, x^) = P (Xq, Xt)-\-P[x^, x^).
Si:
x.^ ■= x^ -{- dXf ,
on a :
P [xq, x.^) — P [Xq, x^) = P {x^, Xf -\- dx^).
Cette probabilité sera infiniment petite, et, en divisant par dx^ , elle ne dépendra que de x^ . On aura donc dans tous les cas :
o [x) dx
Mais nous ignorons la nature de cp (a?) qui reste arbitraire : il faut nous la donner au début du problème par une convention spéciale pour qu'il ait un sens.
De même, la probabilité pour que le point (a?,y) soit à l'intérieur d'une aire donnée est :
JJtf {x,y) dx dy.
l'intégrale double étant étendue à tous les éléments de l'aire ; mais nous ne connaissons pas s {x,y) .
Le mathématicien n'a plus aucune prise sur le choix de cette hypothèse; mais il doit, une fois qu'elle est choisie, porter son attention à ne pas en faire une autre qui la contredise.
11. L'on peut avoir plusieurs paramètres x,, a^a,..., Xp. L'intégrale d'ordre p,
J ? (a;^,a72, ... Xp) dxy dx.^ ... dx,.,
CALCtL DES PROBABILITÉS.
définira alors la probabilité pour que les paramètres x satisfassent à certaines conditions, quand la fonction ^ est définie ; il n'y aura qu'à étendre l'intégration à toutes les valeurs des x qui satisfont aux conditions données. Mais cette définition n'aura de sens que quand on se sera donné la fonction ^ par une coniiention préalable.
Je suppose qu'on change de variables et qu'on prenne y^ l/i'-'-iPp 'y l'intégrale va se transformer en
à l'aide du jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport aux y.
Cette nouvelle intégrale multiple est entièrement déterminée ; on étendra l'intégration aux limites des y qui correspondent à celles des x, et qui sont connues, puisqu'on connaît les relations qui lient les x et les y.
