I.a condition nécessaire et suffisante pour l'intersectioft
est que l'on ait à la fois
ï < 6 -f- 0', çp > 9 — 6',
en supposant 6 > 6'.
Représentons la zone BCB C dans laquelle le pôle P' du cercle mobile doit se trouver ; par projection sur le plan du tableau, les deux petits cercles qui la limitent seront figurés par des droites BB', CC; l'angle POB sera égal à 0 — b\ et l'angle FOC à 6 + 6'.
La probabilité cherchée sera proportionnelle à la hauteur ^cde cette zone. Or,
ôc = 03 — Oc r= cos (6 — 6') — cos (6 + 0') bc = 2 sinO sinO'.
3. Le problème peut être plus général. Soient : 1° n arcs de grands cercles fixes C,,C2,-.. C„, égaux entre eux et de longueur l; 2° n' arcs de grands cercles mobiles, invariablement liés les uns aux autres, de même longueur ICC c ,
Je cherche les points d'intersection des arcs mobiles avec les arcs fixes et je promets autant de francs que de points d'intersection.
L'espérance mathématique du joueur sera proportionnelle à nn.
La probabilité pour que C,' rencontre C, est la même que pour que C2 rencontre C^, etc., d'après la démonstration de tout à l'heure.
Elle reste encore la même pour que C( rencontre Cj, etc.
L'espérance mathématique sera d'autant de francs que
l'on peut faire de combinaisons de l'un des n premiers arcs avec l'un des n' seconds. Supposons même que ces derniers aient une longueur t différente de l : l'espérance mathématique sera nn'll'.
Si l'on considère deux lignes brisées formées d'arcs de grands cercles, l'espérance mathématique sera encore proportionnelle à leurs longueurs, car, si l'un des éléments était double, l'espérance mathématique correspondante doublerait.
A la limite, cette conclusion sera encore vraie, et en général l'espérance mathématique sera proportionnelle aux longueurs s et s' des courbes. Elle sera Kss'.
Cherchons K.
Supposons deux grands cercles : leur longueur commune sera 2?!, et ils se coupent en 2 points ; l'espérance mathématique seraK X 47:^, et comme elle sera égale à 2,
Pour deux petits cercles, l'espérance mathématique sera
ss
— • S'il y a intersection, il y aura deux points d'inter-
section. Or :
s = ^Tz sin 8, s' = 27r sin 6'.
L espérance sera :
.. 27r sine X 27r sinO' 27r2
2 sinO sin 6'.
C'est ce que nous avons trouvé plus haut d'une autre manière.
4. Supposons sur la sphère céleste un nombre N d'étoiles placées au hasard.
Promettons à un joueur un franc pour chaque couple d'étoiles tel que la distance angulaire des deux étoiles, P et P', soit plus petite que y- Quelle est son espérance mathématique?
P' devra être à l'intérieur dune certaine zone. La surface de cette zone est proportionnelle à sin'|'Pour y = tt,
la surface est celle de la sphère entière; la probabilité est
donc :
• 2 T sm*^
■ . ^ sm--
Comme les étoiles sont au nombre de X, elles peuvent
former groupes de 2. L espérance mathématique
est :
N fN — i) . -y
2 ^sin'l*
5. Considérons un système mécanique, dont les équations sont mises sous la forme de Hamilton ; n variables, x^, ajj..., x„, définissent la position du système; n variables, Vi-i Vi-i ••• Vn-, définissent les vitesses.
F étant une fonction donnée qui dépend des x et des y, les équations auront la forme suivante :
dt dui
dyi dY
dl dxi
On connaît F, c'est-à-dire la loi du mouvement, mais on ne connaît pas les positions initiales.
Représentons les valeurs des variables, au temps 1 = 0, pard??,a?§,... a?» et ?/?,2/S,... 2/,?.
Quelle est la probabilité pour que ces variables aient certaines valeurs à un temps t donné ?
Si je me donne la loi de probabilité pour que les variables aient les valeurs initiales ci-dessus, le problème devient déterminé. Je suppose que l'on se donne cette loi de probabilité pour les valeurs initiales,
6. Je suppose cette probabilité proportionnelle à Jk dx^^dx%... dx'Udy^^dyl... dyji,
k étant une constante.
On peut supposer qu'on ne sait rien sur les valeurs initiales, et qu'on sait seulement que F est compris entre F^ et Fj ; comme F = const. est une intégrale des équations du mouvement (c'est l'intégrale des forces vives), si la valeur initiale de F est comprise entre F^ et F.^, F restera comprise entre F^ et F^.
L'intégrale précédente, étendue à toutes les valeurs qui satisfont à
sera égale à 1 .
Si cette loi de probabilité est vraie pour les valeurs initiales des variables, elle le sera encore pour les valeurs finales.
11 suffît de démontrer que le déterminant fonctionnel des
valeurs finales par rapport aux valeurs initiales est égal à l'unité.
Soient x\... y'...^ les valeurs des a;,... y,... au temps t'\ X,... y,... leurs valeurs au temps t.
Il n'y a qu'à établir cette proposition pour t et t' très voisins.
Soit :
Je vais, pour simplifier, examiner le cas de deux variables œ et de deux variables y.
et
, dy. d¥
dY
dxQ
yâ =y2 — e
Le déterminant fonctionnel est :
dx^dy^ dx^dy^ dy\ dy^dy^
dxtdy^ dx^dy^ dy^dy^ dy\
rf^F d}F . d^F c/-'F
dx^ dx^dx^ dx^dy^ dx^dy^
<f^F rf^F d^F dPF
dUc^dx^ dx\ dx^dy^ dx^dy^
Je développe en négligeant le carré de e. Tous les élé-
ments du déterminant sont infiniment petits du premier ordre, sauf les éléments de la diagonale.
Tous les termes seront du second ordre au moins, sauf dans
ou
L ^ w^wyj j L ^ \doc^di/j y
c'est-à-dire 1, aux termes près en e ^.
7. De tout ce qui précède il résulte qu''il faut apporter un 1res grand soin à définir le choix de la loi de probabilité qu'on adopte.
La probabilité pour que x soit compris entre Xq et j7, s'exprime par une intégrale
cp [x) dx ;
ç [oc] sera une fonction sur laquelle nous devrons faire des hypothèses pour connaître la loi de probabilité, mais en général on sera conduit à regarder cp [x] comme continue.
En général, la probabilité pour que x satisfasse à une condition donnée dépendra du choix de ^ ; cependant il n'en est pas toujours ainsi, et certains problèmes sont indépendants de la loi de probabilité.
Exemple. La probabilité pour que x soit incommensurable sera toujours égale à 1, quelle que soit la fonction continue cp que l'on choisisse, et celle pour que x soit commensurable, toujours infiniment petite.
DIXiÈxME LEÇON 127
8. Autre exemple. Soit une roue divisée en un très grand nombre de parties égales, alternativement rouges et noires ; imprimons-lui une rotation rapide. Lorsqu'elle s'arrêtera, une de ses divisions se trouvera en regard d'un point de repère fixe : quelle est la probabilité pour que cette division soit rouge ou noire ?
Pour être complètement résolu, le problème exigerait la connaissance d'une fonction arbitraire ; il dépendra de l'impulsion, de la vitesse angulaire initiale. La probabilité pour que cette vitesse soit comprise entre w^ et u>, est
la fonction © étant entièrement inconnue.
D'un autre côté, la roue aura tourné d'un angle total 6. La probabilité pour que 6 soit compris entre 6^ et 6^ est
Nous ne savons rien non plus sur /"(ô). Néanmoins, la probabilité pour que la division obtenue soit rouge, sera toujours très voisine de 1/2; elle est donc indépendante de /.
Je suppose que chaque division corresponde à un angle e ; je divise l'axe des abscisses en parties égales à e, et par les points de division je mène des ordonnées jusqu'à la rencontre de la courbe
Comme les divisions changent de couleur, je couvre de hachures les aires qui correspondent aux divisions rouges, par exemple.
La probabilité cherchée sera le rapport de l'aire couverte <ie hachures à Taife totale.
Quelle que soit la forme de la courbe, quand le nombre des
<livisions augmente indéfiniment, ce rapport tendra vers -•
FiG. 15.
Soit, en effet, A l'angle maximum dont la roue peut tourner de telle sorte que 6 < A. Supposons la fonction f (ô) continue et admettant une dérivée. Admettons de plus que ■cette dérivée ne dépasse pas un certain maximum, M.
irwi <M.
Je divise A en n parties égales ; soit e l'une d'elles.
Considérons deux divisions consécutives : la différence des <leux aires est plus petite que e (fi. — [x'), où (a et;*' désignent respectivement le maximum et le minimum de f (6) dans cet intervalle. Or (ij. — a') est plus petit que 2Me : la différence des deux aires est plus petite que SMe^.
Comme il y a - aires couvertes de hachures, il faut multi-
plier par - pour avoir la différence des deux aires totales, ce
qui donne Me'n ou MAe.
La différence des deux aires tendra donc vers zéro avec
e et la probabilité sera bien -•
Si on ne savait rien du tout sur * ou sur /", on ne pourrait rien calculer: c'est parce qu'on sait quelque chose que l'on peut entreprendre le calcul-. Mais ici il nous suffit de savoir que /*a une dérivée limitée.
