Choisissons une autre forme où n'apparaîtront pas
Je définis la position d'un point M de la figure mobile par ses coordonnées x, y, z et celle d'un arc de grand cercle MP par l'angle to que fait MP avec MA, MA étant un arc de grand cercle qui passe par un point fixe A.
La probabilité s'écrira
/ Wdxdydiù,
où W est une fonction de a;, y, 2- et w. En prenant
dxdy z= zda^
d(s est l'élément de surface de la sphère et l'intégrale devient
Cette intégrale doit être étendue à tous ceux des éléments e de la surface de la sphère et à toutes les valeurs de l'angle <o qui satisfont aux conditions. En revenant à a? et y comme variables, elle s'écrit :
11. >Te dis que la forme de <I» reste la même quelle que soit la position de A. ^p'
Considérons un autre point fixe B, et soit w' l'angle de MP avec MB, p celui de MB avec MA.
Au lieu de a?, y, w, les variables seront x^ y, w'.
Le déterminant fonctionnel J- ^s/^^ ) gg^ ^„gj ^ .
"dx
12. La fonction «t est indépendante de w. En effet, considérons un autre arc de grand cercle MP', et soit w" l'angle de MP' avec MA, i l'angle de MP' avec MP.
La loi de probabilité ne sera pas changée
*^d<si/(xi
exprime la probabilité pour que MP satisfasse à certaines conditions.
f^d^diù"
exprimera la probabilité pour que M P' satisfasse à ces mêmes conditions. Ces deux probabilités doivent être égales, «I> ne dépendra donc pas de w.
, 13. La fonction $ ne dépend pas non plus de œ et y.
Soient en elTet d<s et dd' deux éléments de surface de la sphère égaux entre eux. Soient ^, w, n, r les paramètres
d'une des rotations qui change de en drs' . Soient X, ui, v, p ceux d'une rotation qui amène la figure mobile dans une position telle que M soit intérieur à de. Soient X', [ji,',v',p' ceux d'une rotation qui amène M à l'intérieur de de .
Soient ^r, y les coordonnées du centre de gravité de de, x\y celles du centre de gravité de de .
Les paramètres X', ix', v', p' seront des fonctions linéaires de X, }x,v, p d'une part, de l^ m, w, r d'autre part; on n'a en effet qu'à se reporter à la formule de composition des rotations citée plus haut. On aura d'ailleurs, comme nous l'avons vu plus haut :
FiG. 12.
d}j.dvdç>
du.'dVdp'
La probabilité pour que M soit intérieur à ds est :
I d<û I ^da = 2::$ (a?,y) d<s = j
du.d\dç) ^1
les paramètres /, [x, v, p devant satisfaire à des inégalités qui expriment que la rotation correspondante amène M à l'intérieur de da, et l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de ces paramètres qui satisfont à ces conditions La probabilité pour que M soit intérieur à da est :
2tz^ [x , y j do On a donc :
/ diLdy'da
ou, puisque d(s = da' :
* (x, y) = fi> {x\ y),
l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs de ix', v', p' qui sont telles que la rotation X', tx', V, p' amène M à l'intérieur de d<s'; ou, ce qui revient au même, telles que la rotation X, [X, V, p amène M à l'intérieur de de.
14. Nous avons ainsi écrit la loi des probabilités sous une autre forme, mais c'est la même hypothèse que celle que nous avons faite quand nous prenions pour variables X, jx, v, p. En résumé, la probabilité pour que M soit à l'intérieur d'une certaine aire de, et en même temps pour que MP fasse un angle co avec MA, est
et <I> est une constante à déterminer.
Etendons l'intégrale à tous les éléments de la sphère; l'angle œ variera de 0 à Stt, et g de 0 à Atz. L'intégrale aura pour valeur
mais alors la probabilité sera égale à 1 . Donc
et
dsdui ( dxdydisi
est la loi des probabilités.
15. Soient, sur la sphère, une courbe fixe et une courbe mobile ; on promet à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection: quelle est son espérance mathématique ?
Elle est proportionnelle au produit des longueurs des deux <!ourbes.
1. Si l'on considère une figure mobile ^ et deux figures fixes ç,, !j>2, la probabilité pour que s ait une position relative donnée par rapport à a, est la même que la probabilité pour que © ait la même position relative par rapport à o^.
Autrement dit, supposons que X, p., v, p définissent la rotation qui amène <^^ dans une position a>' ; prenons comme variables nouvelles X', ji', v', p' qui définissent la rotation qui amène ç^ dans cette même position v : nous retrouverons la même loi de probabilité et nous aurons comme plus haut :
/dixd'/do I dij.'d^'dc'
La rotation X', a', v', p' est la résultante de deux autres, X, ti, V, p et /, m, n, r ; cette dernière, celle qui amène a», dans la position ©,, peut être considérée comme donnée, et le calcul du déterminant fonctionnel de u, v, p par rapport à jjl', v', p' est le même que dans la leçon précédente.
Cela posé, je ne conserverai pas les paramètres X, a, v, p, dont la signification géométrique n'est pas simple, et nous reviendrons aux variables x, y et u) de la fin de la leçon précédente.
2. Soient, sur la surface sphérique, M un point de la figura mobile ayant pour coordonnées œ, y^ z ; et MP un arc de grand cercle appartenant à la figure mobile et faisant un angle w avec l'arc de grand cercle MA qui passe par ua point fixe A.
1° Quelle est la probabilité pour que M soit dans une aire </(j, lorsque o> varie de 0 à 27: ?
C'est :
dndùi da
2° Quelle est la probabilité pour qu'un cercle mobile de la splière coupe un cercle fixe ?
Soient P le pôle du cercle fixe, A le point où il coupe le tableau, et 6 Tangle POA.
FiG. 13.
FiG. 14.
Soient P\ A', 6' les données analogues pour le cercle mobile.
Soit cp l'angle POP'.
