On peut dire encore
La probabilité que la cause C, ail été mise en jeu, puis que, mise en jeu, elle ait produit l'événement A, est une probabilité composée.
D'abord la cause C^ doit être en jeu, et sa probabilité a jtriori est zst ; ensuite, mise en jeu, elle donne à A la probabilité Pi. La probabilité composée est ct,|j,-.
Mais la question se pose autrement.
Il faut que l'événement se soit produit, et ensuite qu'il doive être attribué à la cause C/. C'est encore une probabilité composée.
La probabilité pour qu'il se produise est :
^tPt + ^-iPi + ••• -f ^nPn ;
la probabilité [si l'on sait qu'il s'est produit) pour qu'il soit dû à la cause C; étant x^ la probabilité composée pour que l'événement se soit produit et soit dû à la cause C, sera donc
X [u^Pi + C72P2 +•••-!- ^nPn)
d'où :
g/Pi
^iP{ + ^iPi + ••• + ^nPn
4. A l'écarté, votre adversaire donne et tourne le roi ; quelle est la probabilité que ce soit un grec ?
Soient xs^ la probabilité pour qu'il ne soit pas grec ; zs^^, pour qu'il le soit. Dans le premier cas, la probabilité pour
qu'il tourne le roi est- ; dans le second, elle est 1. La pro-
habilité a posteriori qu'on a affaire à un grec est :
rr..
Si l'on suppose x^s^^ nT< , dans l'ignorance où l'on est de
l'honnêteté de son adversaire, cette prohabilité est de ^ • Elle
serait donc énorme.
Fort heureusement il est permis en général de supposer a
priori :
5. Dans une urne, dont la composition est inconnue, il y :a N boules ; nous effectuons a tirages, en remettant chaque fois la boule tirée, et nous ne tirons que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches ?
Soit tJn la probabilité a priori pour qu'il y ait n blanches ; «t soit pn la probabilité pour qu'on amène u. blanches.
Après les tirages, la probabilité pour que l'urne renferme n blanches est donnée par la formule, et, après la suppression du facteur l^j 5 commun aux deux termes de la fraction, elle est égale à :
CT, li^ -I- CT2-2S* -r ... -f- rjsNv-
6. 11 faut connaître a priori cj,, Uo--- cjn, sur lesquelles on peut faire plusieurs hypothèses.
Supposons, par exemple, que toutes les compositions de l'urne sont également probables, c'est-à-dire tous les cy
•égaux. Chacun d'eux vaudra „ ' car il y a N -|- 1 compositions possibles de l'urne, en y comprenant celle où il n'y a aucune boule blanche. La fraction précédente se réduit
,jv^
13G CALCUL DICS PROBABILITÉS
• Supposons, en second lieu, que l'on ait placé successivement les N boules dans l'urne, les unes blanches et les autres noires, en laissant au sort chaque fois le soin de décider la couleun.
La probabilité que l'on mettra une blanche sera chaque
fois -• et la probabilité que finalement, sur N boules, l'urne
en contiendra n blanches sera évaluée par la formule :
a! m où l'on fera :
pccgr
ce qui donne:
Ainsi la probabilité a priori ct„ pour qu'il y ait n blanches sera proportionnelle à un coefficient du binôme, et, dans l'expression de la probabilité a posteriori pour qu'il y ait n blanches, nous n'aurons qu'à faire les ni égaux à ces divers coefficients.
CT,i
7. Le résultat sera très différent du précédent. Soit N très grand ;
l\i. |- 2;j- + ... + Nt^
sera un polynôme de degré [ji + 4 en N, tjue je puis réduire à
son terme de degré le plus élevé, . •
La probabilité dans la première hypothèse deviendra ainsi :
ni'- ('g -I- 1':
et, pour a = 2, par exemple, elle vaudra ^ •
Dans la seconde hypothèse, évaluons d'abord tj,nî*, pour la même valeur 2 de a.
ni N — ni Évaluons ensuite le dénominateur :
Pour cela considérons l'expression :
1 -1- e^cj, -j- e^-^vs^ + ... -f- e^'CTN, qui n'est autre que le développement de : (1 + e-j\ Je différentie deux fois par rapport à x :
l^e^rô, + S^e^-^^j + ... + N^e^'^ciN.
Il suffit de faire x = 0 pour retrouver le dénominateur que nous voulons connaître quand a = 2.
Ce dénominateur est donc le double du coefficient de xdans le développement de (1 + e*)'* suivant les puissances de X ; or, en nous arrêtant aux termes en a;^,
(1 + e-)N = (2 + x + ff = 2« (l +1 + 17'
•c'est-à-dire :
Le terme du degré le plus élevé en N à l'intérieur de la
parenthèse est — x^. Le dénominateur dont nous cherchons
la valeur est donc approximativement le double de 2^ -->
•e'est-à-dire vaut '2^-^KK
Ainsi, dans la seconde hypothèse, la probabilité pour que l'urne contienne n boules blanches est :
-elle est beaucoup plus petite que dans la première hypothèse. En effet, comme on l'a vu à propos du théorème de Bernouilli,
est très petit, saufquandnetN — n sont sensiblement égaux
à p et q, c'est-à-dire ici à ^•
8. Deux joueurs d'échecs ont joué n -\- m parties : le premier en a gagné n, le second m. Si n > m, on doit supposer le premier plus fort.
Si une nouvelle partie s'engage, le premier aura plus de chances de la gagner.
Quelqu'un de bien informé pourra se représenter par p la probabilité pour que ce joueur gagne. Mais, pour moi qui n'ai jamais vu jouer cet individu, je ne connais pas p ; je vais chercher à m'en faire une idée.
La probabilité pour que p soit compris entre p^ et p, se représente par :
où la fonction f{p) est inconnue.
La probabilité pour que p soit compris entre p et p -|~ ^^P sera a priori f[p] dp; c'est elle qui correspond à ct/.
A la probabilité pi correspond :
ni ml
La cause considérée est en effet que la probabilité de g^agner soit p pour le premier joueur.
La probabilité que ce premier joueur gagne n parties, p
«tant sa probabilité de gag-ner à chacune des n -\- m parties,
sera
n -\- ml „ ,„ ni tnl
Quelle est la probabilité a posteriori que p est compris entre p et p -{- dp?
Ici cT,p,, en remplaçant q par 1 — p, est égal à :
p''{^-pr'':;^np)dp.
La somme des us/Pi sera :
cette intégrale doit être prise de 0 à 1, car la probabilité p €st comprise certainement entre ces limites.
140 CALCUL DES PROiîABILÎTÉS
On fait généralement l'hypothèse
faute d'autres renseignements.
L'intégrale s'évalue alors simplement :
I p'' (1 — p)"^dp.
L'on est ramené à l'intégrale ealérienne de première espèce :
les r sont ici des factorielles, et cette expression n'est autre
que :
n ! 'in ' n A^ m A^\\
Ainsi l'intégrale qui représentait la somme des xsj Pi est
simplement éo-ale k — ; ; — : ? et la probabilité a posteriori
pour que p soit compris entre ;j et p -f- dp est :
9. Quelle va être la probabilité pour que ce joueur gagne la partie suivante ?
Cette probabilité s'obtient facilement. La probabilité pour que p soit compris entre p el p -\- dp est o [p] dp ; la probabilité, lorsqu'il en est ainsi, de gagner la partie suivante pour le joueur est p ; en vertu de la probabilité composée, la réunion de ces deux conditions a pour probabilité pf (p) dp.
ONZIÈME LEÇON lil
On intégrera cet élément de 0 à 1 , d'où
f P? (p) dp.
Si l'on remplace cp (p) par sa valeur :
ni i/ii J Q
C'est encore une intégrale eulérienne, et Ton arrive à :
n -{- 7n -^ il n -\- Il ml ni ml n -\- m -{- il
ou :
Si j'avais appliqué le même raisonnement à un jeu de hasard, je n'aurais pas eu le droit de supposer f (j)) = l. A
priori, en effet, p devait égaler -• Donc / pi devait être
mhni pour p = -•
1. Représentons par N le nombre total des petites planètes ; parmi elles, un certain nombre M sont connues. Dans une année, on en observe n parmi lesquelles m planètes connues.
On demande la valeur probable de N.
La valeur de N ne peut différer beaucoup de -^ > mais
cette évaluation au jugé ne suffît pas : il faut s'occuper de l'écart probable entre le nombre véritable et le nombre probable.
Voici comment nous procéderons :
En premier lieu, nous supposerons connue la probabilité pour que, pendant l'année d'observation, une planète existante ait été observée, soit p cette probabilité : nous admettrons qu'elle est la même pour les planètes connues et inconnues.
Comme nous avons observé n planètes, la valeur probable
de N semble au premier abord devoir être égale à - ; mais
il n'est pas possible que cette valeur soit tout à fait exacte : les nombres 1, 2, ..., N ont des probabilités propres que j'appelle cr^, xs^^ ..., cjn, et la valeur probable de N sera :
CT, +2cj2-l- ••• + Nctn.
DOUZIÈME LEÇON 14î^
Si Ton suppose p donné, et tous les nombres 1, 2, .. , N également probables, on arrivera, comme nous le montrerons,.
à — -^— -^ pour la valeur probable de N.
Ce premier point résolu, nous nous poserons un autre problème ; nous avons supposé p connu, nous ne le supposerons plus, et nous déterminerons ensuite la valeur probable de N en fonction de w et M, ce qui nous donnera
, 1 , . . . • j Mw ,, , ,
un résultat très voism de — comme nous 1 avons prévu plus
haut.
2. J'appelle donc ctn la probabilité a priori pour qu'il y ait N planètes ; Pn la probabilité pour que, s'il y a ainsi N planètes, on en observe n dans l'année.
La probabilité a posteriori pour qu'il y ait en tout N planètes est une probabilité de cause; elle s'exprime par:
ctnPn ,
Comme première hypothèse sur les cr, supposons-les tous égaux ; la formule précédente se réduit à :
Pu ^
Pour calculer p^, appliquons le théorème des épreuve» répétées. La probabilité que, sur N planètes, on en observera n dans l'année est •
^«^nlN-nî^^g"^""'
p étant la probabilité pour qu'une planète, si elle existe, soit observée ; q la probabilité pour qu'elle ne le soit pas.
n est une valeur constante : c'est la plus petite que puisse prendre N. Faisons croître N indéliniment :
Si j'introduis maintenant la relation p = i — g :
Avec l'hypothèse faite sur les cr, la probabilité pour qu'il y ait N planètes est donc ppfi.
