La valeur probable de N est

Il est un peu plus simple de calculer la valeur probable de N — w, soit :

Posons

alors

S (N — «) Pn = SAp" (N — /î) g^-".

Pour évaluer le second membre il suffit de différentier

F(p, q) par rapport à q, et de multiplier le résultat par q :

faisons après cette différentiation 4 — q = p.ll reste : (n+l)g.

En vertu d'une précédente démonstration, cette expression

est égale à SAp" (N — n) ç^"". Comme d'autre part Spi» = -» la valeur probable de X — n est :

P Par suite, la valeur probable de N est :

(" 4- 1) g | „ ^ Hl+J.

Cette quantité diffère très peu de -î comme il était prévu. En effet :

4. Considérons maintenant la valeur de p comme inconnue ; je supposerai qu'on veuille connaître quelle est la probabilité pour que p soit compris entre p et p -\- dp.

Ici, la probabilité a priori, tsi, pour qu'il en soit ainsi, sera :

cTi = f{p) fip,

où / (p) est une fonction inconnue de p.

Pi sera la probabilité pour que, si p a une valeur déterminée, l'événement observé se produise, c'est-k-dire pour que, sur M planètes, on en observe m.

Toutes les valeurs possibles dep sont comprises entre 0 et 1. On a donc :

p"q^-'^f {p) dp

UiPi m ! INI — m !

^''"" ^ru^^jy"''-r(P)<ip

Quel est le nombre probable pour N ? Nous multiplierons

n -\— Q le numérateur par — ■ — ~: et nous intégrerons de 0 àl. Cette

valeur probable N est égale à :

vn«M-m^ + Ç

C p'nqyi-"Y(^p) dp

Ce résultat dépend de f {p) ; supposons cette fonction égale

a 1, et remplaçons aussi — ■ — - par — ■ — — 1.

I p'«çM-H» ! — dp — p"'q^-""dp

•<fi

f p'^q^-'^dp

(n + 1) f p'^-^q^'-'^dp

Nr:.'

f p"'q^^-'"dp

Posons :

J est le rapport de deux intégrales qui sont encore des intégrales eulériennes.

~ r (w? -f- 1) r (M — m H- ij ~" r (M + i) r (m + i)' r (M -f 2)

m et par conséquent :

Cette valeur est très voisine de — » ainsi que nous l'avons

annoncé.

THÉORIE DES ERREURS. - 5. Je suppose que l'on ait effectué différentes mesures

d'une même grandeur : quelle est la probabilité pour que la véritable valeur soit comprise entre z ai z A^ dz ?

Il faut introduire une loi des erreurs. Je suppose que la véritable valeur de la grandeur à mesurer soit z ; quelle est la probabilité pour que le résultat de l'observation soit compris entre x^ et x^ -\- dx^ ? Je pourrai dans tous les cas représenter cette probabilité par

Cette loi des erreurs étant admise par convention, quelle est la probabilité pour que z soit compris entre ^ et ^ -f- '^^ ^

C'est un problème de probabilité des causes, et nous allons calculer :

xjsi est la probabilité a priori pour que z soit compris entre z ei z -\- dz ; cette probabilité sera représentée par :

rsi = ^ {z) dz,

^ étant une fonction qui dépendra de ce que nous savons sur z.

Pi est la probabilité pour que, à supposer que la quantité observée soit z, les observations aient donné des résultats compris entre :

Ju È "l et»! r~ CtOC t ^ "-^o ^^ *^9 iJ^Oui)^ ,,. OOfi QJj OO^i '\~ CLOGfi,

La probabilité respective de ces événements est :

dx^dj [x^^ z), dœ^df [x.j,^ z)', ... dxn^ {x„^ z).

Pi est la probabilité pour que tous ces événements se soient produits à la fois ; comme ces événements sont indépendants, c'est une probabilité composée :

pi = dx^dx.^ ... dx„^ (-r^, z) <p [x.^^ z) ... cp (aî„, z).

La probabilité a posteriori cherchée a pour numérateur :

dzdx^dx.^ ... dxn'i^ [z] tp (a;,, z") ç [x.^^ z) ... cp (a;„, z\

Pour obtenir le dénominateur i^cjjPi, il faut intégrer cette expression par rapport à z seulement. Dans le quotient,

cfa?,, dx^^... dxn sont des constantes qui disparaîtront, et il restera pour la probabilité :

dz'li (z) g) {œ^, z) o (a?g, z) ... o {Xn, z)

/+00 dz'!^ {z) 9 {x^, z) <p (a;.2, z) ... o {x„, z)

6. Cela ne nous apprendrait pas grand'chose si nous n'avions aucune donnée sur cp et l- On a donc fait une hypothèse sur 9, et cette hypothèse a été appelée loi des erreurs.

Elle ne s'obtient pas par des déductions rigoureuses ; plus d'une démonstration qu'on a voulu en donner est grossière, entre autres celle qui s'appuie sur l'affirmation que la probabilité des écarts est proportionnelle aux écarts. Tout le monde y croit cependant, me disait un jour M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathématiciens que c'est un fait expérimental.

Voici comment Gauss y est arrivé.

Lorsque nous cherchons la meilleure valeur à donner à z, nous n'avons pas d'autre ressource que de prendre la moyenne entre œ^, a;,, •- x^, en l'absence de toute considération qui justifierait un autre choix. Il faut donc que la loi des erreurs s'adapte à cette façon d'opérer. Gauss cherche quelle doit être cp potir que la valeur la plus probable soit la valeur moyenne.

7. Si dz est constant, la probabilité pour que z soit compris dans l'intervalle rfs^ est:

r\, {z) cp {x^, z) © (aja, -3-)... ? (x„, z) dz.

ioO CALCUL DES PROBABILITES

La valeur la plus probable sera celle pour laquelle cette fonction sera maximum. Supposons ce maximum atteint quand z est la moyenne.

Gauss a d'abord égalé la fonction (j/ à 1 , puis il a admis

que (p [xn , z) était de la forme <^{z ^x^). Quelle doit être alors la fonction cp pour que :

<f {z — x^) (f (^ — ^3)... ^ (-S" — oc„)

soit maximum avec cette valeur de z ?

Égalons à zéro la dérivée logarithmique de l'expression précédente par rapport à z :

Ç {z' Xf) '^ <D (z — ^2) ? (^ — ^")

Je pose :

-^'^^-^'^Fix,).

^ [z — Xf) __

L'équation à vérifier devient :

Cette condition devra être réalisée toutes les fois que

Xf -\- X2 -\- •.. -\- oc„ = nz.

Je donne à £c^ , aîg , . • • ^n des accroissements dx^ , rfa^g , . • • ^^n \ z restant constant, la somme des x doit rester constante et on doit avoir :

F' (icj dx^ -f F (j?o) dx^... + F' (a;„) dxn = o, dx^ -\- dx^ -}-...-{- dx„ = o.

Ces deux équations doivent être identiques, d'où :

DOUZIÈME LEÇON loi

c'est-à-dire que F' (a?,) est une constante que je représente

par — a.

F [x^) = a (^ — a?,) + ^^ et:

L? (z — ic,) = g '' -h «• (2 — ^,) -f- c-

Déterminons les constantes a, 6, c.

F (a;J -f- F {x^) + ... + F '\x„) = ^a > — x^) -\- nb = o, x^ -^ X.2 -^ ... -i- x„ — nz = — ^ {z — x,; = o.

Comme ces deux équations doivent être identiques, on a :

b = o, et l'on peut écrire :

f{z — Xf) = e^e - ; e se détermine par la condition :

/ 3* (s- Xf) dXf = 1.

En posant :

on trouve :