M. Bertrand présente les objections suivantes

La fonction ç a été prise sous la forme [z — ar,), tandis qu'en réalité elle devrait être o (z, a;,.) De plus, on a fait •i {z) = 1, et l'on ne peut l'affirmer a "priori.

Autre objection : La moyenne est-elle la valeur la plus probable ou la valeur probable? Ce n'est pas la même chose.

Supposons qu'une certaine grandeur ce puisse prendre pour valeur :

1, 2,..., n — 1 ou w,

et que chacune de ces valeurs ait pour probabilité :

de telle sorte que :

Pk +Pi -l-...p« = 4.

La valeur probable de x sera par définition :

^ = P< H-2p2 + ••• +np„.

La valeur la plus probable de tr sera celle qui correspond au plus grand des nombres p.

Dans le cas du problème des erreurs, la valeur probable de z est donc représentée par le rapport :

/ dz z^ [z] tj [x^, z) cp (a72, A ••• T Kn A ^ -ce

r dz ■} [z] (p (ic,, z) cp (a^a, z) ... cp {x», z)

M. Bertrand dit que Gauss aurait dû chercher, non pas la condition pour que la moyenne soit la valeur la plus probable de z^ mais la condition pour que la moyenne soit la valeur probable de z.

9. On peut chercher à s'affranchir des hypothèses que nous avons faites, à savoir que cp [x^ , z) était de la forme cp [z — x^) et que «j^ {z) était égale k 1 ; on peut se demander quelle forme on pouvait donner à ces deux fonctions pour

que la moyenne arithmétique de a;,, x^,... x^ fût bien la valeur la plus probable de z.

En d'autres termes, cette moyenne arithmétique, comme nous l'avons déjà dit, doit rendre maximum :

^ {^) ? K, z) (p [x^, z) ... cp (a;„, z).

Quand il y a maximum, la dérivée logarithmique est nulle; c'est-à-dire que si l'on pose :

^ {z) - f' on doit avoir :

Cette égalité doit être satisfaite par la valeur de z que définit l'équation :

Je donne à a;,, a^a,.., ^« des accroissements rfo;,, dx^., ..., dx„. Je suppose que z ne change pas et que la dernière égalité continue à être satisfaite ; / est alors une constante, et :

dY{x^) rfF {x^ -, , rfF [x„) ^

cte, -\~ dx^ + ••- + dx„ = o.

Ceci ne peut avoir lieu que si :

d¥ [x,) d¥ (x.^ d¥ ix„] dXf dx^ ■■' dx„

Donc :

dx^ '

OÙ A' est fonction de z seulement ; et :

B' étant aussi fonction de z seulement. La condition à remplir devient :

K {x^ -{- x^-\- ... -[- X,,) 4- wR' -f- y = o,

c'est-à-dire :

Cette relation doit être satisfaite quels que soient z ein \ donc:

c'est-à-dire que <h {z) est constant, et :

~ A'^-LB' = o.

Voilà ce que deviendrait l'analyse de Gauss si on voulait la reprendre en tenant compte de la première observation de M. Bertrand.