Une autre objection a été faite à Gauss

La quantité que l'on doit prendre pour z, ce n'est pas la valeur la plus probable, c'est la valeur probable. En effet, la valeur la plus probable est celle qui correspond à la plus grande valeur de p ; elle peut être très différente de toutes les autres, tandis que celles-ci peuvent se grouper très près l'une de l'autre, ce qui donne fort à croire qu'elles diffèrent très peu de la véritable valeur. Elles n'interviennent pas dans la valeur la plus probable, tandis qu'elles contribuent toutes à la valeur probable qui est par définition :

La valeur probable de z est :

/+00 z-if [z) (p {x^^ z) <p ((Tg, z) ... cp [x„, z) dz

dz

(Les deux quantités sous le signe / ne diffèrent que par le facteur z qui figure en haut).

Il faut choisir t|^ et j) de façon que cette valeur probable soit la valeur moyenne :

2. Pour cela, je suppose que p observations aient donné le résultat a;^ ; p autres, le résultat x.^: ... enfin, p dernières, le résultat a?„. C'est un même nombre p et je le suppose très grand.

Les deux intégrales porteront sur p facteurs égaux à (p {ar^, z); sur p facteurs égaux à 9 {x.2, 2)...; sur p facteurs égaux à © {x„, z).

Je pose :

<!> = s {x^, z) o {x.2,z)... a)(a?„, z). Il s'agit de vérifier :

/. +00 ^ —oc -^t ~r" ^2 ~T~ • • • ~T~ -^ii

,+ oc

<^Pdz

Celte égalité devra avoir lieu quelque grand que soit p. Si, au lieu de deux /; nous avions le rapport de deux S, nous aurions à considérer le rapport :

è,Xî+ i,X|+... + ^,X^'

où les X, , X2 , . . . X„ seraient fonctions des a;, , ajj , . . . a;„ et les «4, aj, ... a„, b^,b^, ... b„ fonctions de z.

Je suppose positives toutes les quantités X. Quelle est la

limite de ce rapport quand p croît indéfiniment ? Soit Xj la

plus grande des quantités X : la limite sera -j^- En effet, ce rapport peut s'écrire :