XA

Sa.

Toutes les fractions ^ sont plus petites que 1, sauf une Xj

seule, celle qui correspond à k = i. Donc, quand p augmente

indéfiniment, le rapport considéré a bien pour limite ^• Étendons ce résultat aux intégrales :

Tcp^ {z)*^P<lz et Tcpa [z] ^Pdz.

<Pi {^) joue le même rôle que a,-, et c&2 {z) que bi. Quelle est la limite du rapport de ces intégrales ? Soit ^^ la quantité qui rend $ maximum. Cette limite sera :

c'est-à-dire ici

EoKfo)^

Cette quantité z^ doit être la moyenne arithmétique.

3. Nous revenons à la même question que précédemment : 9> doit être maximum quand z est la moyenne arithmétique. Nous connaissons la condition pour qu'il en soit ainsi; c'est:

les dérivées, A' et B', des fonctions de s-, A et B, étant liées par :

Quand on suppose que s- dépend seulement de la différence z — a;,, sa dérivée logarithmique par rapport à z

Kx^ -f B',

doit être du premier degré en 2^ — a;, ; alors

{p (ar — x^^ -= Ce' ' — •^1''.

A' et 6 (Xf) sont constants.

Dans le cas général, c'est-à-dire quand on ne suppose pas que o dépend seulement de ^ — a?, , il reste pour <p (a;^ , z) trois fonctions arbitraires à déterminer : d'abord <^ [z], que l'analyse actuelle ne permet plus de déclarer constant comme dans le calcul de la valeur la plus probable ; puis 6 {x^) ; puis A. Quant à B, il est lié à A par une relation.

4. Il s'agit de déterminer un peu plus complètement ces fonctions arbitraires.

Je vais supposer p observations donnant pour résultat x^ : la moyenne arithmétique sera x^ ; alors :

et l'on doit avoir :

Cz-^ {z) ^Pdz = Xf Ç^ {z) ^Pdz ; d'où :

hP C{z — x^) ^ {z) eP^*''>+^) dz = o.

Cette relation doit être satisfaite quels que soient p et x,^ 6^ a pu sortir du signe / puisqu'il ne contient pas z^ et

nous ne pourrons le déterminer par cette condition.