Considérons

Je dis que cette intégrale est nulle, c'est-à-dir§ que la moyenne est la valeur probable.

Je vais poser :

Xy -\- X.2 -\- •••-[- OCn

et:

cp [x^, z) cp (a;2, z) ... cp (a;,,, z) = 0 {œ^) 0 {x^) ... 0 {x„) e^ . L'exposant P peut s'écrire :

P = —J^ [z] [{z — x^)^{z — x^)-\- ... -\-{z— Xn)] dz,

c'est-à-dire :

P = — n I -if {z){z — x) dz.

11 reste donc à démontrer que l'intégrale suivante est nulle :

fo [x^] 6 {x^) ... 6 [x„) {z-x)^ (z) e- «/+(-'):(= -^)^-' dz.

Si nous posons :

I [z — x) -^ {z) dz == w-,

d'où :

(^ — x) ^ [z) dz = ïLu du.

l'intégrale envisagée se réduit à :

20 [X^) 6 [œ^)... 6 {x„) Cue-""^ du.

Elle est nulle quand u varie de — oc à -j- x.

10. La fonction cp dépend ainsi de \}/, et t|/ dépend de la connaissance que nous pouvons avoir a priori de la probabilité relative à z.

fp dépend de l'habileté de l'observateur et de la probabilité a priori pour qu'il se trompe.

Il n'y a aucune raison pour que ces deux probabilités a piHori dépendent l'une de l'autre. La seule hypothèse raisonnable est donc de supposer •} = 1 pour retrouver la loi de Gauss.