On a posé

[z — cc^) -^ [z) dz = f [u] du.

Difîérentions, en considérant a;, comme constant, l'autre équation en m,

Aa;^ -f- B = w§ — w^ ; il vient :

dz {A-'oOf -f- B') ^= — 'iudu;

or, en tenant compte de la relation

A'z + B' = o, A'Xf -j- B' = A'x^ — A' z = — A' {z — Xf).

Donc :

A {z — x^) dz =^ 2udu,

d'où :

'—^ est une fonction paire, donc ^-^ ne doit pas chanîi A.

ger quand on change u en — u.

Or ^, n'est pas une fonction de m, mais une fonction

de xr indépendante de a;^ ; je dis qu'elle doit se réduire à une constante.

En effet, je considère deux valeurs quelconques de z, Zf et Z.2, pour lesquelles A et B prennent respectivement les valeurs A^ et B^, A, et Bj ; je vais choisir a;, de façon que :

\^x^ -f- B, = Ajr, + B,.

m| — u- reprendra alors la même valeur pour z^ et z^-

Donc ■ ^ qui n'est fonction que de u^ reprendra aussi la même valeur et on aura :

Donc .,^ est constant.

8. Ainsi la manière la plus générale de satisfaire au postulat de Gauss (modifié conformément à l'objection de M. Bertrand, à savoir que la moyenne est la valeur probable), se traduit par :