Soit z la quantité à mesurer

La probabilité pour que le résultat de la mesure soit compris entre a?, et a?, -7- dx^ peut être représentée par o (oî, , z) dx^ .

Gauss, nous l'avons dit, suppose que o ne dépende que de z — x^ ; la probabilité sera alors cp (z — x^ dx^ ; de plus, il suppose qu'il n'y a pas d'erreur systématique, c'est-àdire que o est une fonction paire et ne change pas quand on y substitue x^ — z kz — a;, .

Soit y, l'erreur :

La probabilité est «p (y,) dy^.

Nous aurons à considérer la valeur probable de y^ , et, plus généralement celle de y,^; ce sera:

Comme ^ est une fonction paire, si p est impair, cette intégrale est nulle.

2. On peut faire deux observations, y^ et 2/2 > ^t avoir à considérer la valeur probable d'une fonction de ly, et y,, par exemple y'"\ y^î .

(p (y,) est la probabilité pour que la première erreur soit

comprise entre y, et y^ -j- dy^ ; cp [y.^ la probabilité pour que la seconde erreur soit comprise entre y^ et y^ -(- dy^. La valeur probable de y^x .v'"2 sera par définition

les intégrales étant prises de — 00 à -|- 00 par rapport à y, et par rapport à y^-

Comme la fonction sous le signe / / est le produit d'une

fonction de y^ par une fonction de y. 2, et que les limites sont constantes, cette intégrale double sera le produit de deux intégrales simples :

/y'"! ? {y^ ) dVKjy'l^ ? (2/2) dyi-

Ceci montre que la valeur probable du produit est le produit des valeurs probables des facteurs.

Il faut que les deux facteurs soient différents : la valeur probable de y\ par exemple ne serait pas le carré de la valeur probable de y\ ; mais la valeur probable de y\ y\ sera le produit des valeurs probables de y^ et de y\.