Admettons la loi de Gauss
Un certain nombre d'observations nous ont donné comme résultats de mesure x^^x.2,... x„. Il s'agit de savoir la valeur de h et celle de ^: tout ce que nous connaissons, c'est a;,, Xo,... oo„, et de plus nous admettons que la loi des erreurs est celle de Gauss.
Posons :
Demandons-nous la probabilité pour que z soit compris entre z et z -\- dz, et pour que h soit en même temps compris entre h et h -\- dh.
C'est un problème de probabilité de cause: la cause inconnue, c'est le double fait ci-dessus ; l'effet connu, c'est que n observations ont donné x^, x^,..., x^.
En représentant, comme précédemment, par cj,- la probabilité à priori de la cause envisagée, et par pi la probabilité d'un événement qui s'est produit si l'on adm.et que la cause a été mise en jeu, la probabilité a posteriori de la cause sera:
^ZJiPi
Ici:
rji == -^ [z^h) dz dh^
sous la forme la plus générale et sans faire <^ =z i : l'idée que nous nous faisons a priori de l'habileté de l'observateur doit influer sur la probabilité que nous attribuons à h.
Pi est la probabilité que les observations ont donné des résultats compris entre :
x^ et x^ -f- dx^^ x^ et x^ -f- dx^ ..., x„ et x^, -f- dx^.
QUINZIÈME LEÇON 19i
Posons :
n = z {x^ — 2-) cp (^2 — ^) ••• ? i^n — ^) ;
ou
alors
et :
yz ^''^'''
Pi = II dœ^ dx.2 ... dx^^ xsiPi U-hdzdh dx^dxc, ... dx„
^tSiPi
/ X\-]^dzdh dx^dx^...dxn
On n'intègre pas par rapport aux a;, dont les différentielles disparaissent haut et bas. Par rapport à ^, on intégrera de — X à -|-oo , et par rapport à /i de 0 à -j- <» •
