Valeur moyenne de y
Donc :
le dernier terme disparaît ; il reste :
Valeur moyenne de y* :
en laissant de côté les termes où figurent des exposants impairs.
Le second terme sera beaucoup plus grand que le premier: le premier S est un ensemble de n termes, le second ^1
un ensemble de ^ termes ; ces nombres de termes
sont respectivement de l'ordre de n et ^de l'ordre de n"^, le premier est négligeable devant le second. Les différents termes des deux S sont dailleurs par hypothèse très petits et sensiblement du même ordre de grandeur. On a dautre
part :
ou :
Le premier terme est encore négligeable devant le second, et celui-ci est identique dans les deux expressions. Donc, avec l'approximation adoptée :
Valeur moyenne de y^ :
Calculons d'autre part 15 M^ :
Comparons les deux seconds membres. Le premier S porte sur n termes, le second S sur n [n — 1), le troisième S sur
-^^ . J, i -: ces nombres de termes sont de l'ordre
de grandeur de n, de n^, de n^, et les deux premiers S sont
négligeables vis-à-vis du troisième. Comme le terme qui
n'est pas négligeable est le même :
y^ = lo\P.
4. Supposons que l'erreur finale soit la résultante d'un très grand nombre d'erreurs partielles, indépendantes les unes des autres, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques ; supposons aussi que ces erreurs, qui seront sensiblement du
même ordre de grandeur, entrent chacune pour une faible part dans l'erreur totale.
Dans ce cas, terreur résultante suivra sensiblement la loi de Gaiiss.
Telle est, il me semble, la meilleure raison à donner de la loi de Gauss.
5. On en donne aussi une vérification a posteriori, fondée en somme sur le théorème de Bernouilli.
Si une certaine épreuve peut donner naissance à plusieurs événements tels qu'un seul d'entre eux se produise à la fois, et si on répète l'épreuve un très grand nombre de fois, les nombres des événements qui se produiront seront très sensiblement proportionnels à leurs probabilités.
On mesure un grand nombre de fois une quantité z ; les résultats sont a;,, x^,... Xn, et les erreurs y,, y.2^-- Vn-
Si nous connaissions bien 3-, nous connaîtrions bien y,, yj,.. y„; si nous comptons le nombre d'erreurs comprises entre deux limites données, a et 5, ce nombre sera proportionnel à
J ? (y^) dyy
On peut construire la courbe qui représente s (y,).
On divise l'axe des abscisses en un certain nombre de parties égales à a: chacun de ces petits intervalles est assez grand pour que le nombre des erreurs dans cet intervalle soit grand ; au milieu de cet intervalle, élevons une ordonnée proportionnelle à ce nombre d'erreurs.
La courbe obtenue, si la loi de Gauss est vraie, aura pour
équation :
C'est une courbe asymptotique à l'axe des abscisses et symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
FiG. 16.
Ce résultat se vérifie, paraît-il. Ainsi Bessel a pu représenter les résultats d'un grand nombre d'observations de Bradley, sur la déclinaison d'une étoile.
6. On peut aussi se dispenser de tracer une courbe, et vérifier par le calcul.
Remarquons, en premier lieu, que, si on ne connaît pas la véritable grandeur à mesurer, on adoptera la valeur moyenne des observations comme la représentant.
Vérifions par le calcul : la valeur moyenne de y^^ serait, d'après la loi de Gauss,
celle de y^'',
?'/ rz: — ^— - .
QUINZIEME LEÇON i89
Éliminons h
'My'" »VHi!
Cette relation doit être satisfaite.
Pour les observations faites, nous connaissons les erreurs 2/0 .Vav Vn- L'expression
doit être égale à :
Vfr.
cette vérification se fait également, paraît-il.
On peut encore considérer 3/-^+' . La valeur probable serait nulle si l'on prenait y avec son signe. En ne considérant que la valeur absolue, on aurait comme valeur probable, d'après la loi de Gauss,
2 / \J\y-' e-^y- dy;
cette intégrale eulérienne n'est pas nulle.
Si on avait pris y avec sa valeur relative, on eût eu
J - zc qui est nulle.
