En général, en est-il ainsi

Si les opérations sont sensiblement concordantes, les erreurs sont petites, et tout se passera comme avec la loi de Gauss.

Quelle que soit la forme des fonctions F, si le champ de la variation des u est très restreint, nous pourrons regarder les z comme linéaires.

Pour cette même raison, c'est-à-dire si le champ où peuvent varier les u est très restreint, la fonction -j/, qui était d'abord si arbitraire, peut être regardée comme constante.

C'est grâce à cet ensemble de circonstances que la mé-

thode des moindres carrés peut être considérée comme applicable, toutes les fois que les observations sont sensiblement concordantes et dénuées d'erreurs systématiques.

7. Ceci posé, voyons comment les calculs doivent être dirigés.

Nous connaissons les fonctions z des u : ceux-ci sont au nombre de ^J, et un nombre d'observations n, plus grand que p, nous adonné pour z,, 2-2,,.., Zn les valeurs a;^, a?2,.--; ocn.

Il y a plus d'équations que d'inconnues ; cherchons la meilleure manière d'y satisfaire d'une façon approchée.

Une première approximation donnera M,, Wjvi ^p- Supposons qu'elle soit assez bonne pour qu'on puisse négliger le carré de l'erreur commise : soit J,- cette première approximation pour Ui :

Ui = ai -f V,:

Si nous développons les Zt suivant les puissances croissantes des Vi, d'après la formule de Taylor, et en négligeant les carrés des Vi,

zi = Anv, + A,-2U2 + •.. + KpVp -{- B,-;

on aura de la sorte n équations qui sont devenues linéaires. Il faut rendre minimum :

^hiy,^ = mi(Zi-Xi)K

Écrivons que les p dérivées par rapport aux p quantités Vu, V21 ... Vp sont nulles.

mi{Zi-œi)^=o.

dzj

Or:

dzi

dv,-^'"'^

il reste :

^hi\u- [zi — a;,) = o.

8. Nous sommes Jonc conduits à la règle suivante : J'écris les équations ci -dessous qui ne sont qu'approchées :

X, — B, = ^^^v^ -\- A,,i% + ... -^ ^^pVp, x.^— B.J. = AojP, -f Aooi'o + ••• ■\- Aopvv,

X,, — B„ = A,,,t', -\- \„,v., + ... H- ^npVp. i h„Ki

Non seulement ces équations sont approchées, mais elles sont incompatibles puisque n > p.

Je multiplie les deux membres de la première par A4A,, ; ceux de la seconde par A.,Ao, ; ... ceux de la w» par 7?„A„, ; et j'ajoute les résultats membre à membre.

J'obtiens ainsi une première équation linéaire en a; et 0 ; je me suis servi des coefficients

où j'ai fait k=^i. Si je fais k égal successivement à 2, . . . , p, j'obtiendrai les nouvelles suites de coefficients :

A, A, 2, fi-i^i%i ••• ^u^in

J^^\^p, h.,\.yp, ... A„A.„p

et par conséquent p équations linéaires pour les v. La résolution de ce système répond au problème.