Pour que P soit minimum, la prejnière équation

rfP = o

doit être satisfaite quels que soient les rfA; cette première équation doit être une conséquence des n autres relations entre ces rfA.

Soient e,, e^i ••• ^n des coefficients convenablement choisis, par lesquels nous multiplions respectivement les deux membres de chacune de ces n relations.

hiX, = &^a'^ -\- s ..a'^ -\- . . . -\- £„a'„

^'■^ - '' h, + '' h, + - + '" A, Si je pose :

le coefficient de t^ dans

/•(o;; = JilkiX^

sera (p (aja^), etc.

11 vient donc finalement :

f{x) = e^cp (a;a.) -h s^^ {xa^) + ... + e„^ (a7a„).

Nous disposerons des coefficients e de façon à satisfaire aux observations, d'où n équations à n inconnues.

9. La forme de f {x) dépend des h. Pour que la série qui représente cp [x) soit convergente, il faut que les coefficients h augmentent avec une rapidité suffisante.

Si l'on a :

\^\< 9 et I «-A- I < p,

c'est-à-dire :

\ocak\ < p^

la série sera convergente quand :

ht > ?''.

En somme, cela revient à dire que la probabilité pour que les derniers coefficients hi s'écartent de zéro devient de plus en plus faible. Il suffit de supposer qu'à partie du w* rang les h sont infinis. Dans (p {x), les termes extrêmes où entrent A„, h„+^... s'annuleront et cp [x) sera un polynôme d'ordre n.

10. Cherchons à dégager une impression de l'ensemble de ce cours. Dans les données des problèmes, il est entré une part considérable d'arbitraire, même dans les cas les plus simples, ceux où l'on n'avait affaire qu'à la détermination d'une constante. Lorsque le nombre des cas possibles est devenu infiniment grand, les difficultés ont augmenté. Puis, quand sont intervenues les probabilités des causes, un fait important s'est dégagé : la présence de CTi a entraîné diverses hypothèses, mais toutes arbitraires.

On ne peut dépouiller complètement de ces hypothèses arbitraires les questions de probabilités ; aussi le mot de calcul semble-t-ii ambitieux, et il ne sert qu'à dissimuler l'ignorance absolue.

Ainsi, quelle est la probabilité pour que la quatrième

décimale du logarithme d'un nombre entier soit l ? C'est — '

car il n'y a pas plus de raison pour une décimale que pour une autre; nous avouons de cette manière notre ignorance complète, car, en consultant les tables, nous trouverions

cette probabilité qui n'est qu'approximativement de jt:- Là,

le problème a pris une forme objective, tout à fait inabordable au mathématicien.

Nous avons vu que si des corps très nombreux étaient animés d'une vitesse de rotation uniforme, mais différente de l'un à l'autre, quelle qiie fût la distribution initiale des longitudes, la distribution finale serait sensiblement uniforme. Sur des considérations» de ce genre, on peut essayer de fonder une espèce de calcul.

Quelle est la probabilité pouc que des comètes, étrangères au système solaire, aient une orbite hyperbolique ? On supposera bien que, à une certaine distance du soleil, les comètes sont uniformément réparties dans l'espace ; mais sur quoi fonder cette hypothèse ? en vertu de quelle cause ?

Quelle que soit cette cause, sa probabilité tout au moins

est susceptible d'être représentée par / /* {x,y,z) dxdyds,

étendue à toutes les valeurs qui satisfont aux conditions imposées. Et alors on dira, on admettra que f est continue,

qu'elle varie très lentement, que dans une portion très faible de l'espace elle est constante.

C'est seulement par des hypothèses de ce genre qu'on arrivera ainsi à poser les problèmes ; mais on ne doit pas s'attendre à rencontrer quelque résultat pleinement satisfaisant. Le calcul des probabilités offre une contradiction dans les termes mêmes qui servent à le désigner, et, si je ne craignais de rappeler ici un mot trop souvent répété, je dirais qu'il nous enseigne surtout une chose : c'est de savoir que nous ne savons rien.