D'une manière générale, soit un nombre fini d'inconnues
W^, U.21 ..., Up\
p est connu.
Je suppose que la probabilité pour que m, soit compris entre u ei u -{- du est représentée par la loi de Gauss,
La probabilité pour que l'un des u s'écarte de zéro sera d'autant plus petite que h sera plus grand.
Nous connaissons les valeurs de certaines fonctions des m,
en supposant les observations parfaitement exactes.
n est plus petit que p, il y a plus d'inconnues que d'observations.
Je suppose que les x sont fonctions linéaires des w ; c'est
ainsi que, dans l'exemple qui précède, les B étaient fonctions linéaires des A et que l'on avait :
Bk = Aq -{- A^a/c + ... Je pose donc :
y/c = Ciw< + C|m2 +•••-[- Clup
Les observations nous ont appris que y^ est compris entre x/e et X/c -\- dx^.. Chercher les w, c'est résoudre un problème de probabilité de causes. Les causes, c'est que les u sont compris entre certaines limites ; les effets observés, c'est que les œ sont compris entre certaines limites.
La formule
va se simplifier ici.
4. Si les u ont des valeurs déterminées, les fonctions linéaires x^ auront également des valeurs déterminées, et la probabilité de ces valeurs sera la certitude ; suivant que ces fonctions tomberont ou non entre les limites données par l'observation, la probabilité sera 1 ou 0. Donc la formule de la probabilité a posteriori se simplifie en
si l'on a représenté par p,- la probabilité de l'effet quand la cause agit.
ScT/ porte sur toutes les probabilités relatives aux valeurs des u compatibles avec les observations ; tst est la probabilité a priori pour que les diverses quantités u soient comprises entre certaines limites.
La h" inconnue a pour probabilité d'être comprise entre Uk et Uk + duk
cjj comporte p facteurs analogues :
j'écrirai pour abréger :
xsi = Yidu^du^ ... dup d'où :
Snr, = / Udtc^du^ ... du,.
Il faut intégrer pour toutes les valeurs des ic compatibles avec les observations, c'est-à-dire satisfaisant aux inégalités
Xk < OkU^ 4- C^Wa + •••-!- C|Wp < X/, -f- dx^. La probabilité cherchée sera :
tSj ïldUfdu.^ ...du ' 1 Ild^c^du2 ... dUp
quand les u satisferont aux inégalités ci-dessus. Sinon l'on aura 0 comme probabilité.
5. Si je cherche la valeur probable d'une fonction quelconque F des u :
I Flîdu^du^ ... dUp
I Iidu^du^ ... dUf
Nous allons transformer ces deux intégrales. Ona:
Xk <yk < ock -\- dxk.
Je vais prendre pour inconnues y^, 2/2 v> 2//net j'y adjoindrai p — n fonctions linéaires des u tout à fait quelconques,
IldUfdu2 ... o^W/,
va se transformer en :
H^di/fdy^ ... dy^d^^idz^ ... dzp n-
A est le déterminant fonctionnel des u par rapport aux y et aux z ; comme ce sont des fonctions linéaires, A est constant. Il vient .
|¥^dy^dy2 ... dy^dz^dz^ ... dz^^n
Judytdy^ ... dy,4z^dz^ ... dzp n
Nous avons à intégrer d'abord par rapport aux y : y^ par exemple variera depuis x^ jusqu'à x^ -f" ^n c'est-à-dire
très peu ; la fonction sous le signe / va rester sensiblement
constante, et l'on pourra écrire :
dx^dx^ ... dxn I FHdz^dz^ ... dzp-.n
dXfdx2 ... dx,i I Ildz ^dz 2 ... dz^^n
Les différentielles des x disparaîtront.
Fn et n sont des fonctions des z, et nous intégrerons par rapport aux ^ de — oc à -f- ^ •
n est le produit d'un facteur constant par une exponentielle, e— (''i«i2+'4«-2"^+ •••+*î<V); l'exposant est un polynôme du second ordre et non homogène par rapport aux z, P.
6. Supposons F fonction linéaire des z. Cherchons la valeur probable de F.
Les valeurs probables des différentes quantités z s'obtiennent en cherchant les valeurs qui rendent minimum l'exposant P : soit ^? la valeur de Zi qui rend P minimum.
Alors :
P = P3 -h Po-
Pq est une constante, et P2 est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux quantités ^, — zf. L'intégrale
/ (Zi — z^) e~^ffzfdz2 ... dzp„
porte sur une fonction impaire par rapport à Zi — zf ; en intégrant de — xi k -\- ce , on aura zéro pour la valeur de cette intégrale.
On en déduit que, si F est égale à F^, quand on y remplace z,par ^P,
J (F — F(,) e-^dZfdz.^ ... dz^^
est nulle, prise de — x à -f- ^^ • De même :
/ (F — Fq) UdZfdz^ ... dzp„ = o;
et par suite :
/ FUdZfdz^ ... dzp n = Fq I lidz^dz^ ... dzp ny
c'est-à-dire :
F = Fo.
Ainsi on obtiendra la valeur probable de F en substituant à Zi les valeurs qui rendent minimum le polynôme P.
7. Appliquons ces principes au problème que j'ai posé au début de cette leçon.
Au sujet de f (a?), nos inconnues u sont les A et nous avons :
P = AoA2+A^Aî + ... +A,A?-f-...
Il faut rendre ce polynôme minimum.
Les valeurs des A seront d'ailleurs arbitraires, sauf les relations linéaires données par les observations :
Écrivons que F est minimum. L'accroissement dP devra être nul quand les A, s'accroîtront de o?A, :
dP = ^oA^o^Ao + ... + hikidXi -1- ... -— o.
Les accroissements rfA^, ..., c?A,, ... sont liés par :
df [ak] = o.
Or, fia^) par exemple est égal à :
r{a^) = Ao + A^a^ -f ... + A,a'^ -|- ...
Donc :
dA.Q 4" a^dk^ + ••• + a<^A, -|- ... = o, «'Ao + a^dXf -\- ... -j- 4rfA,- + ... = o,
rfAft + a^dAi + ... -h a'„G?A, -j- ... = o.
