Application au problème de la rencontre
Dans une urne, il y a a boules numérotées de 1 à a ; je les tire les unes après les autres, jusqu'à ce que l'urne soit vide. Il y a rencontre si, au i^ tirage, je tire la boule numérotée i.
Cherchons la probabilité pour qu'il y ait au moins une rencontre.
D'abord la probabilité pour qu'il y ait rencontre au rang i
est — En effet, il y a en tout autant d'hypothèses possibles
que de permutations de a lettres, soit a ! Combien sont favorables? celles où la i" boule est au rang i; je puis y permuter les [x — 1 autres, donc [t. — 1 ! cas favorables. La probabilité est :
Cherchons la probabilité pour qu'il y ait rencontre au i* et au k^ tirage. Deux boules ont un rang déterminé : si nous permutons les u. — 2 autres, nous verrons que le nombre des cas favorables est a — 2 ! ; la probabilité est :
Va- =
- ,. - i) De même :
fx(ix-l)(fx-2)
Toutes les Pi sont égales ; comme il peut y avoir u. rencontres :
Sa- = 1.
Pour calculer Sp,x-, remarquons que le nombre possible
des doubles rencontres est '^
i.2 De même
I 2 ^'* — -^Pj* — j 2
ui(a — 1) (a — 2) 1
Si je promets à un joueur autant de francs que de rencontres simples, son espérance mathématique sera 1 ; elle
sera -» s il reçoit 1 franc par combinaison de 2 rencontres ;
;;> s'il reçoit 1 franc par combinaison de 3 rencontres: etc. o
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une rencontre
au moins? C'est ce que nous avons appelé tout à l'heure P.
Il 9 1^:
le dernier terme correspond au cas de tj. rencontres simultanées. Les termes de P sont les [jl premiers termes du développement de 1 — e~V et cette série converge avec une rapidité extrême. L'erreur est d'autant plus petite que [jl est plus
grand, et, pour ij. = 20, elle est inférieure à rrry» c'est-à-dire
insignifiante.
La probabilité cherchée est i — e-^.
6. On promet à un joueur (toujours sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner un franc à chaque maximum de la liste que l'on obtient, en écrivant les numéros sortis dans leur ordre de tirage. Quelle est son espérance mathématique ?
Supposons qu'il y ait maximum au «^ tirage; on a tiré trois boules a, è, c, la 'i — 1)«, la i^ et la {i -\- 1>, et puisqu'il y a maximum, a <C b ^ c.
Il y a a! cas possibles. Sans toucher aux autres boules, je permute entre elles a, 6, e ; six combinaisons sont possibles, dont deux sont favorables, a, i, c et c, i, a.
Dans ce groupe, la probabilité pour un maximum est donc
-• Or, il y a ^ de ces groupes, correspondant au i"- tirage,
mais, pour ce tirage, l'espérance mathématique est •
L'espérance mathématique totale sera la somme des espérances mathématiques partielles ; d'autre part, sauf conventions spéciales que je ne suppose pas, ni le premier, ni le dernier tirage ne peuvent donner lieu à paiement.
L'espérance mathématique totale est donc -
1, w joueurs ont chacun un dé et mettent chacun 1 franc comme enjeu : celui qui amènera le point le plus fort ramassera les n francs; et si plusieurs joueurs obtiennent le môme point, plus fort que celui de tous les autres, ils se partageront l'enjeu.
Le premier joueur, A, amène le point K : quelle est, à ce moment, son espérance mathématique?
La probabilité pour qu'un autre joueur déterminé amène
le point K est - ; pour qu'il amène un point plus petit que K,
Quelle est la probabilité pour que A partage l'enjeu avec
/ — 1 joueurs déterminés ? Ces / — 1 joueurs doivent amener
le point K, les n — i autres un point inférieur à K. La
probabilité cherchée est donc une probabilité composée, le
produit de Q par (— ^) '
Ainsi la probabilité pour que A partage avec i — 1 joueurs
(K — 1)"-'' déterminés est ^ — ^';r^\ On peut former autant de groupes
de z — 1 joueurs qu'il y a de combinaisons de w — 1 lettres
? — 1 a ^ — 1, soit — r,'
Chacune de ces combinaisons donne à A la probabilité
n ci-dessus, et le gain correspondant est -; l'espérance mathématique de A est :
Il faut faire la somme de ces espérances mathématiques depuis i = i jusqu'à i ^= n, ce dernier cas étant celui où l'enjeu est partagé également entre tous.
C'est le développement du binôme
. . • (K — Ij" a part le terme qui correspond a î = o, soit ^ •
L'espérance mathématique totale est donc : K" — (K — 1)"
2. La théorie de l'espérance mathématique a donné lieu à un paradoxe célèbre, le paradoxe de Saint-Pétersbourg : Paul lance une pièce de monnaie ; si elle retombe pile, il paiel franc à Pierre et la partie est terminée ; si elle retombe face, on recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit 2 francs et la partie est terminée ; si on amène face, on recommence. Au troisième coup, Pierre recevra 4 francs, ou bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce présente face n fois de suite et que le (n -\- 1)* coup soit pile, Paul paie 2" francs.
42 CALCUL DEvS PROBABILITES
Quelle somme doit donner Pierre à Paul au commencement de la partie pour que le jeu soit équitable ? En d'autres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre ?
La probabilité d'amener pile au premier coup est - ; l'espérance correspondante est -•
La probabilité d'amener face au premier coup, puis pile au second, événements indépendants, est une probabilité
composée, -. — L'espérance mathématique est y x 2 =r -•
Au troisième coup, cette espérance est r: X 4^ = -•
Au n« coup, ^;^ X 2'^ = 2'
Tous les termes de la série sont égaux à - ; l'espérance
mathématique de Pierre est infinie : il n'achèterait jamais trop cher le droit de jouer.
On a voulu expliquer ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment riche, a-t-on dit : sa fortune est comprise, par exemple, entre 2'' et 2'' + ^ ; si l'on amène pile au (p -f" 1)* coup, il devra 2/" francs et pourra payer; mais si l'on amène pile au coup suivant, il devra 2'' + ' francs, et sera insolvable. Pierre ne peut donc toucher que 2/* francs ; son espérance mathématique devient
--i---x9 i lx4 i -I — i x2P-J 2/'-| ±pA-
La série devient
p -\- i termes sont égaux à -< le reste a pour somme -♦
l'espérance mathématique est :
Si la fortune de Paul est, par exemple, d'un milliard, on
pourra faire p = 30, et l'espérance mathématique de Pierre
sera -y = 16. On voit qu'elle se réduit considérablement.
On a dit aussi que le plaisir de gagner 1 000 francs est plus grand pour celui qui n'a rien que pour le millionnaire ; que le plaisir de doubler sa fortune est indépendant de cette fortune.
Le plaisir, quand on possède une fortune x, de gagner une somme h sera mesuré par
On a remplacé l'espérance mathématique par l'espérance morale.
p,:, étant la probabilité de réaliser un gain h, l'espérance morale !-era
ou
pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Cette série est manifestement convergente.
