Deux joueurs, dont l'un, A, possède m francs, et l'autre

44 CILGUL DES PROBABILITÉS

B, n francs, jouent à 1 franc la partie et poursuivent le jeu jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise sera fonction de m, et n, (p (m, n), et comme la somme des fortunes, m -\- n r=z s, est une constante, o sera fonction de s et n, c'est-à-dire de n. Appelons ;p (w) la probabilité pour que B finisse par être ruiné : nous supposerons ici que les conditions ne sont pas équitables.

Si A à chaque partie a la probabilité p de gagner, B a la probabilité 1 — p.

On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses se présentent: A va gagner et B aura n — 1 francs; B gagnera et aura ?i -j- 1^ francs.

1^ (w) comprendra donc la probabilité pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit p cp (w — 1), et aussi la probabilité pour que B gagne cette même partie, mais finisse également par être ruiné, soit (1 — p) cp (w -j- 1).

(1) cp (n) = pp (n 1) -| (l __p) cp {n + 1).

Cette relation de récurrence servira à déterminer jp (n). Il faut en outre connaître les conditions limites.