PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES
577. On dit qu'un problème est relatif aux probabilités géométriques lorsqu'il consiste à déterminer la probabilité pour qu'un ensemble de points, de lignes ou de surfaces dépendant d'une certaine façon du basard possède une propriété géométrique donnée.
Nous ne ferons pas une étude systématique de la théorie des probabilités géométriques ; nous traiterons seulement les problèmes relatifs à la forme des triangles tracés au hasard.
Nous avons défini la probabilité par le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles, tous ces cas étant considérés comme ayant égale vraisemblance.
Il résulte de cette définition que la première donnée de tout problème de probabilité doit être relative au mode de division en cas d'égale vraisemblance.
Dans la plupart des problèmes, ce mode de division est sousentendu dans l'énoncé; mais, lorsqu'il s'agit de probabilités géométriques, il est nécessaire, au contraire, de le préciser. Plusieurs modes de division peuvent, en ellVt, paraître acceptables d'après l'énoncé du problème, quoique, généralement, ils ne paraissent pas également naturels.
Relativement à ce sujet, un exemple dû à Bertrand est devenu classique : On trace au hasard une corde dans un cercle; quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit?
L'expression de corde tracée au hasard ne précise pas suffisamment la division en cas d'égale vraisemblance; en adoptant trois modes de
4o'| !•■ r.AI.MK.I.ir.U.
division difÏÏ'ronts. Bertrand fui ((HKlMil ;i trois valeurs diUV'rciitcs pour la prohaltilitc clifrclico: 7' :^' . ■
Si l'on t'tudii' une (|uesli.oii particulinc, la nature de la (|uestion peu! iniposcr un mode de division ; mais, s'il s'agit d'une question générale, il ( >l nécessaire de comparer les dillérentes hypothèses qui conduisent aux ilillerents modes de division et de dégager de cette comparaison l'hypothèse qui semhie la plus naturelle, s'il en est une.
Cette comparaison, qui peut être très délicate dans certains cas, sort quel(|ue |)eii liii domaine des mathématiques pures.
Pour le [)rohlème (jui fera l'ohjet de cette étude, il existe une hypothèse qui semhie toute naturelle. Nous traiterons d'ahord d'autres cas, afin de procéder, en quchpie sorte, par élimination.
Il s'agit d'ahord de définir ce que l'on doit entendre par l'expression de triangle tracé au hasard.
578. Considérons une aire plane limitée par une courbe f(>rmée F; décomposons cette aire en un très grand nombre de carrés infinitésimaux par un double système de droites parallèles équidistantes; à chaciue carré nous pouvons faire correspondre un numéro d'ordre; si nous tirons an hasard un de ces numéros comme à une loterie, le carré infinitésimal, c'est-à-dire le point correspondant, est un point pris au hasard à l'intérieur de l'aire.
Si l'on tire trois numéros et si l'on joint les points correspondants par des droites, on obtient un triangle.
Ce triangle dépend à un certain point de vue du hasard, mais ne peut évidemment être considéré comme un triangle tracé au hasard.
En écartant l'hypothèse considérée, nous ne devons pas en conclure qu'elle ne puisse présenter d'intérêt ou même d'utilité dans certains cas; l'un des problèmes les plus étudiés de la théorie des probabilités géométriques consiste, précisément, à déterminer la superficie moyenne du triangle formé par trois points pris au hasarda l'intérieur d'une aire.
579. On peut encore obtenir un triangle en brisant au hasard une tige AB en trois morceaux ou, si l'on veut, en divisant la ligne AB en trois segments par deux points pris au hasard.
CALCLI. DES PROBABILITÉS. 4'>^
Par ce terme il faut entendre que, la ligne AB étant divisée en un très grand nombre d'éléments égaux, on fait correspondre à cliaque élément un numéro d'ordre. On tire au hasard deux numéros comme à une loterie; les éléments correspondants, c'est-à-dire les points correspondants, sont des points pris an hasard sur la ligne AB.
Les trois segments ainsi déterminés ne peuvent former un triangle que si le plus grand est inférieur à la somme des deux autres. La probabilité pour que les segments puissent former un triangle est -•
Dans ces conditions, le triangle moyen est celui dont les côtés sont proportionnels aux nombres iG, i3, 7.
Lorsque les trois segments forment un triangle, la probabilité pour que ce triangle soit obtusangle est 9 — 12 log2, soit environ o,()82.
Ces résultats présentent quelque intérêt; mais, si un triangle formé par la rupture d'une tige est du, à un certain point de vue, au hasard, il est évident qu'on ne peut le considérer comme un triangle tracé au hasard.
580. Au lieu d'obtenir un triangle en partageant une ligne AB en trois segments par deux points pris au hasard, on peut diviser trois lignes égales AB, A B , A B en deux segments en prenant sur chacune d'elles un point M, M', M" au hasard.
Les segments AM, A'^L, A"M" ne détermincul un triangle que si le plus grand est inférieur à la somme des deux antres; la probabilité de
cette éventualité est -•
Dans ces conditions, le triansle moven est celui dont les côtés sont proportionnels aux nombres G, 5, 3.
La probabilité pour que le triangle soit oblusangle est - — -> soit environ o, 371.
Ces résultats présentent quelque intérêt; mais il est bien évident que le triangle obtenu comme il vient <rêfre dit n'est pas ce qu'on peut considérer comme un triangle tracé au hasard.
581. Que doit-on donc entendre par l'expression de triangle tracé au hasard?
Un triangle tracé an hasard est un triangle formé par trois droites me-
4oG 1.. liACIIF-LIEn.
nées au hasard, cesf-à-t/ire par froïs droites dont les directions sont ahsolurnent (/tielcont/iirs.
Soieiil NOM l'iinc des droites, Div I'iiiumIcs autres (le lecteur est prié (le l'aire la figure); dire que ces droites sont tracées au hasard revient à dire que, si l'on désigne par 0 l'angle KO.M qu'elles forment entre elles, toutes les valeurs de 0 (comprises entre zéro et -) ont égale vraisemblance.
I.a nrobaitililé d'une valeur particulière de 0, c'est-à-dire la proba-
bilité pour que l'angle soit compris entre Q et 0 + d'i, est —
Considérons maintenant une troisième droite tracée au hasard; elle rencontre OM en E et OK en H; toutes les valeurs de l'angle ^ = OEH ou de l'angle o = OlIE ont égale vraisemblance.
Par le point 0 menons une parallèle OL à EH (de même sens que EH); l'angle LOH est égal à 9 et l'angle LON est égal à 'j/.
Les angles formés par les trois droites menéesau hasard, c'est-à-dire les angles du triangle, ont ainsi même sommet 0; leur somme est égale à-. Les trois angles d'un triangle sont donc trois quantités 0, 9, '^ telles que chacune d'elles considérée individuellement puisse prendre toutes les valeurs également vraisemblables entre o et -n et telle que la somme
On conçoit que cette dernière condition change les probabilités relatives aux angles; il est évident, par exemple, que la valeur moyenne d'un angle est- quand aucune condition ne lui est imposée et qu'elle
n'est plus que ? quand on sait que l'angle appartient à un triangle.
582. Quelle est la probabililé pour qiî un angle d'un triangle ait pour valeur 0 ?
Supposons que ce soit l'angle KOM, par exemple, et qu'il soit déterminé par la seconde ligne tirée au hasard (la première étant NOM). La probabilité pour que l'angle KOM soit égal à 0 est — •
La droite OL (parallèle à EH), menée au hasard, doit se trouver comprise dans l'angle NOK égal à - — 0; la probabilité de cette éven-
. r.- . Tf — ^
tuante est
La probabilité pour que l'angle considéré ait pour valeur 0 et pour qu'il soit formé par la seconde droite, menée au hasard, est donc, en vertu du principe des probabilités composées.
n—BrlB
et, comme l'angle 0 peut être formé par la seconde ou la troisième droite tirée au hasard, la prohahilité pour qu un angle d'un triangle, ait une
valeur donnée 0 est
T.~B dQ
Toutes les valeurs de l'angle de zéro à tt ne sont plus également vraisemblables quand cet angle appartient à un triangle. La valeur la plus probable est zéro, la valeur la moins probable est t:, la valeur moyenne
résultat évident.
La valeur probable x de l'angle, c'est-à-dire celle qui a autant de chances d'être ou de ne pas être dépassée, est donnée par l'équation
■ TC — 9 d9 j
d'où X = -Il —\ = 52°43' environ.
583. Quelle est la probabilité pour que le plus grand angle d'un triangle ait pour valeur 6 ?
Si l'angle considéré 0 est supérieur à -> il est nécessairement le plus
grand, et la probabilité pour qu'il soit le plus grand et pour (ju'il ait pour valeur 0 est simplement la probabilité pour qu'il ait pour valeur 9 multipliée par trois, car le plus grand angle peut être l'un des trois
angles du triangle.
La probabilité est alors
^n — e /te
4o8 I.. I!A(.MKLIKI\.
En intégrant entre - et- on oht'iont /a prohabilite pour i/ii' un triangle soit ohtusangle :
Ce théorème peut être démontré sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours au cali'ul intéi,M'al.
Au point 0, élevons une perix'ndiculaire OR sur NOM. Pour qu'un angle désigné, l'angle 0 par exemple, soit obtus, il faut que les lignes OK et OL, tracées au hasard, soient toutes deux comprises dans l'angle
droit NOK; la probabilité de cette condition est- pour chacune des deux lignes, et, par conséquent, elle est- pour les deux.
La probabilité pour (|u'un angle désigné soit obtus est -) et la proba-
bilité pour (jue l'un (jnelconque des angles soit obtus est -,-•
Étudions le cas oii l'angle considéré est compris entre - et -^• L'angle déterminé par la seconde ligne OK menée au hasard fait un angle 0 avec OM; la probabilité de cette éventualité est —
L'angle o doit être, par hypothèse, inférieur à 0; donc la troisième droite OL, menée au hasard, doit faire avec OM un angle LOxM inférieur à 2O.
L'angle ■]/ doit être, par hypothèse, inférieur à G; donc, l'angle LOM doit être supérieur au — 0.
L'angle LOM doit donc être inférieur à 2O et supérieur à - — 0; il doit donc être compris entre - — 0 et 2O.
La droite OL doit donc former avec OM un angle compris entre - — 0 et 26: la probabilité de cette éventualité est
iB-{iz — B) 39 — TT
La probabilité pour que l'un des angles (désigné) soit déterminé par la seconde droite tracée au hasard, pour qu'il soit le plus grand et pour
CALCIj'l. DKS PUOlJAClLlTtS. 409
qu'il ;iil pour valeur 0 est donc " ;■
La probabilité pour que l'un quelconque îles trois angles soit déterminé par la seconde ou par la troisième droite tracée au hasard pour qu'il soit le plus grand et pour qu'il ait pour valeur 0 est donc
^ZQ — T.dB
En résumé, la prohabililè pour que le plus grand angle d'un triangle ait pour valeur 0 esl
