si l'on intègre/par rapport à x^ entre — ce et + ce
■ dx, dXi . . . i/.r„| dxj
on obtient l'expression F analogue ii /, mais relative à « — 2 variables. Cette intégration s'eflectue par la l'orniule connue
On obtient ainsi
- da\ dx.
{k, h, l prennent les valeurs 2, 3, '1, . . . (n — i).
Cette formule est analogue à celle qui exprime/, mais elle est relative à (« — 2) variables.
L'équation (2) est relativement à F ce que l'équation (i) est relativement kf, c'est-à-dire qu'elle est identique.
Ainsi la quantité x\ a le même coefficient dans les deux membres de l'équation aux dérivées partielles. Cette équation est donc satisfaite.
571. Cas où il y a uniformité. — Lorsque le jeu est uniforme, si l'on désigne par Oj, ç-l, ... les fonctions d'instabilité pour une partie et par •/', j, ... les fonctions / relatives à une partie, on a
ç',, ,.., o', ,, ■/', j, .. . sont ici de simples coefficients.
La quantité a peut alors être mise en facteur dans les déterminants et la probabilité pour que, en [a parties, le joueur A, ait perdu la somme œ^, le joueur A, la somme x.,, ..., le joueur A,,^, la somme x„, est donnée par l'expression
Saj.rJ+!S6j,a-ja-,
al
La lettre A désigne le déterminant
dxi . . . dx„
Xî,3
Zi.i
Zi
Sç)/» I- I1.\<'IIKI.I1".«.
Dans les (|uaiililt's y' on pont pcrinulcr les indices; nous avons oiiit, par exemple, pour conserver la symétrie, /o,, au lion de / 1,.,. La somme 1 a^ .vi désigne la quantité
La quantité a,, s'obtieni, en supprimant dans le déterminant A, la ^-'•■""' ligiu' et la /-"■""' colonne.
La somme "Ll'hj -f/, ^i désigne la quantité
-H ^i,n-i-î"i>ï"«-i+ Z>j.jX,.r3-r . . .+ 6„j,„-ia:„2X„,.
La quantité b^^i s'obtient en supprimant dans le déterminant A la /jicmc ligng e, 1;, /irme eolonnc.
572. Application à la théorie des épreuves répétées. — A chaque épreiwe n événements A,, A;;, ..., A„ peuvent se produire et s'excluent mutuellement ; la probabilité de l'événement A, est p^ ^ à la première épreuve, p,,, à la seconde, . .., />,,^ à la jj."''"''; la probabilité de l' événement \.., est p^^, à la première épreuve, p.,^., à la seconde, . . ., p..^^ à la u.'*"""^, ... ; la probabilité de l'événement A„, est p„f^^ à la première épreuve, p,,^,,-, à la seconde, . . . p,,^,,^ à la p.'""*".
Quelle est la probabilité pour que, en a épreuves, l'événement A, se produise /),, , +/Î, ,2 -I- ■ • . + /J,,|x + 37, fois ; l'événement A2, /J^,, -f- /Jo.o -!-...+ p.,^^ + x., fois; ... ; l'événement A„, , /)„,,, +/>„-i,2 -I- . . . -t- /?„-i.ij. + ^„ ., fois?
Les quantités a;,,^;^, v„^^ sont les écarts. On suppose que, à
cbaque épreuve, il se produit nécessairement un des événements et un seul.
Si Xn désigne l'écart relatif à l'événement A„, on a évidemment
Supposons que «joueurs, B,, B», . . ., B„, perdent, à chaque partie, des sommes respectivement égales aux accroissements des écarts à l'épreuve correspondante, la probabilité pour que les écarts soient a;,, x.^, ...,a;„, en \j. épreuves est la probabilité pour que ces joueurs perdent les sommes x^, x.,, x„^ en u. parties.
CALCUL DES PROBABILITÉS. SqS
La question revient à calculer les fonctions ç et -/ relatives aux jeux deB..B„ ...,B„,.
A la [jl'''""' épreuve il y a probabilité p,,^ pour que l'écart relatif à l'événement A, augmente de (i — p,,y.) et probabilité (i — p,,.^) pour que cet écart diminue de p,,^L^, l'espérance du joueur B, est donc nulle et son jeu est équitable. La fonction d'instabilité pour la u.'™"' partie est
'■2[A'!',u(' —Pi.il.) -+-(' - Pi.il.)- Pi. p.] = 2/J,.^(l —p,.u.).
Les fonctions d'instabilité jouissant de la propriété d'addition, la fonction d'instabilité relative au joueur B, pour les j^. parties est
On obtiendrait des expressions analogues pour les autres joueurs.
11 s'agit maintenant de calculer les fonctions telles que y,,-.- Supposons que u. — I parties soient jouées et que les écarts correspondant aux événements A, et Ao soient x, et a-.^.
A l'épreuve suivante il y a probabilité p,,^^ pour que l'événement A, se produise; alors l'écart .r, augmente de la quantité (i — pi,^i), l'écart X., diminue de p.,^^,. et le produit des écarts augmenté de la quantité
■r-zii — Pi.iu) — ^iPî.v.— P-2.U.+ l'i.y.Pi.v.-
Il y a de même probabilité />.,,|i pour que l'événement Ao se produise ; alors l'écartée, diminue de la quantité /),,^, l'écart x^ augmente de (i — p-i.y.) et le produit des écarts augmente de la quantité
^1 (. 1 — y'-2.a) — -^iPi.u.— Pi.v-^ Pl.i>.P-2,p.-
Il y a enfin probabilité i — /j,,,i ~ P-^^v- pour que les événements A, et A2 ne se produisent pas; alors les écarts diminuent de />,,[i, ^0,^1, respectivement, et leur produit augmente de la quantité
-^l Pi.\l. — •^2/'l,!J.+ /'l,u./^2,u.• A la a'*""" épreuve, le produit des écarts pour A, et A. augmente donc en moyenne de la quantité — Pk.\i.Pi.\x-
Les valeurs moyennes des produits jouissant de la propriété d'addi-
'iç^6 L. IIAOIIELIEU.
tion, la valeur moyenne ilii produit des écarts x,, x^ pour les jj. épreuves est
La fonction y ,^., relative au jeu de B, et Bj a'donc pour valeur
(connaissant les fonctions <p et y, il suffit pour résoudre le problème d'appliquer la formule du n° 564; la probabilité pour que les joueurs B,, Bo, ...,B„, perdent respectivement les sommes a;,, iCj, ...,a;„,, c'est-à-dire la prohahilité pour que les écarts aient pour l'aleurs x^, a*,, . • ., x„ y, est exprimée par la formule
-clxy...dxn-i.
M désignant le déterminant
'^rt.iPi.t y^P2,i{i—Pi.i) 2/>2,i/>3,,- —y^P2,,Pi,.- 2^2,17^5,1 ••■ ^y^pupn-i.i
-^/h.iPui '^p^i.iPi.i ^PiAt—pi.ù y^Pi,.Pi,f —"^p^.tps.i ■■■ ±y^P3,,pn-i,i
y^/h.iPtj —'^Pi.iPî.i '^Pi.iPi.i '^PyiO—Pi,i) '^p-.^tPô^i •■■ qi^Pi.i/?,,-,,/
-y^P-^.ipiJ y^P-'jPi,! —'^P-o,'P3.i '^Ps,/P:.i ^Pô..i^—Ps,i) ■•■±^Pi.iPn-,J
±y^P„-UiPjJ ^^'^Pr,-i,,P2,i ±'^Pr,-,,iPz.,- rç2/J„,,,pj,,. ± Vp„, .^5. ... 2/?„,,,( 1 —/?„-, .1)
Les sommations s'étendent à toutes les valeurs i, 2, . . ., ijt. de i. La somme S c^xl désigne la quantité
CiX\ + c,xl + . . . -h c„, .r,^,.
La quantité c^ s'obtient en supprimant dans le déternninant M la ^ième ligne et la ^-leme colonne.
La somme -g/,.i ^a X/ désigne la quantité
La quantité ^yi,/ s'obtient en supprimant dans le déterminant M la ^ièmc ligng gt la /iéme coloune.
."»73. Lorsque les u. épreuves sont identiques, laformule précédente se simplifie; le déterminant 31 a pour valeur
ou, en désignant par ;d„ la probabilité de l'événement A,,,
Le déterminant c^ se réduit à
n 2 Pk-^ Pn
Ck = P"-V. Pi--- Pn-X Pn „ „ •
PkP,i
Tous les déterminants g sont égaux; leur valeur est
La probabilité pour que les écarts soient x^, x.,, . .., x,^^ en a épreuves est donc
. .„,. ^ f/-r, . . . dx^-,.
\\JlT.^) VPtPi- --P'i-lPn
574. On peut mettre cette expression sous une forme symétrique en introduisant l'écart x„ qui correspond à l'événement A„. De l'égalité
on déduit
ce ^ H— J^j -i— . . . — [— X^j ■+- IX JTj H— 2 tZ*| X-^ — |— , . . H— 2 J7;j — t^Ofi — j ^^ *^/iï
398 L. IIXCIIEUEU.
et l'expression de la probabilité devient
Sous cette forint" on |)eut l'obtenir par une autre métliode (n^Cii.")).
.")7."». Application à la théorie des probabilités mêlées. -^ A chaque épreuve, trois événements A,, A^, A, peuvent seproduirc La probabilité pour que l'événement A, se produise seul est^,, la probabilité pour que l'événement A, se produise seul est/^2, la probabilité pour que FévénemeiU A3 se produise seul est p^. La probabilité pour que les événements A, et A, se produisent simultanément est ç»,, la probabilité pour que les événements A, et A3 se produisent simultanément es! q.,, la probabilité pour que les événements Aj et A3 se produisent simultanément est y,. La probabilité pour que les trois événements A,, Aj, A3 se produisent simultanément est r, et il y a probabilité / = I — /J, — /'; — /';, — 5', — y.. — ^:i — /■ pour (ju'aucun des événements ne se produise.
La probabilité pour que l'événement A, se produise à une épreuve est donc /?, -t- ^a + i/o -t- /• = tn, ; la probabilité pour que l'événement Ao se produise est Pi + q^ -^ q^^ r = '^■i\ la probabilité pour que l'événement A, se produise est ^3 + §'2+ y, + '= cî3-
Si, sur un grand nombre a d'épreuves, l'événement A, s'est produit [ji.nT, + j7, fois; l'événement Ao, acTo + .ro fois; l'événement A3, (xcTj + a;, fois, on dit que les écarts sont .r,, x.,, x^.
Quelle est la probabilité pour que les écarts soient x,, x^, x^ en [JL épreuves!
Supposons que quatre joueurs B,, 60,83, B4 jouent aux conditions suivantes : Les joueurs B,, B^, Bj perdent, à chaque partie, des sommes respectivement égales aux accroissements des écarts à l'épreuve correspondante ; le jeu du quatrième joueur B., est défini par l'égalité
le joueur B, perd la somme x^.
CALCUL DES PROBABILITÉS. 3gg
Le jeu de B^ est déterminé; supposons, par exemple, que, aune épreuve, les événements A, et A3 se produisent simultanément (éventualité qui a pour probabilité 5',); le joueur B, perd alors l'augmentation de l'écart x.,, c'est-à-dire la somme (i — nr^) ; le joueur B3 perd de même la somme (i — îd,); le joueur B, gagne la somme ni,; la perle du joueur B, pour cette épreuve est la quantité ar, définie par
l'égalité
(i — cj,) -H (i — Ts,) ■ — tn, H- ^;^ o, d'où l'on déduit
Xj ^ CT, -t- ra., -f- CT3 — 2 .
Le joueur B, a donc à chaque épreuve (ou à chaque partie) probabilité Çf de perdre la somme (cr, -+- cï., + ÎIÏ3 — 2). Le jeu de Bi se définirait de même pour chacune des autres éventualités auxquelles correspondent les probabilités/*,, p^iP^, q-i, q^, '', t.
Le jeu de B, est nécessairement équitable en même temps que celui des joueurs B,, B., B3.
La question proposée revient à chercher la probabilité pour que, en IX parties, les joueurs B,, B^, B, perdent les sommes x,, x^, x^.
La formule du n° 571 résout le problème; il reste à chercher l'expression des quantités o' et /'.
Déterminons, par exemple, la valeur de o\. A une épreuve quelcon([ue il y a probabilité ra, pour que l'événement A, se produise et par suite pour que a-, augmente de la quantité {1 — m,); il y a probabilité (i — cj|) pour que l'événement A, ne se produise pas et par suite pour que x, diminue de cr,.
Le jeu de B, est donc équitable; la fonction d'instabilité zi[ est, par définition,
9, — 2[ot, (i — HT, )^+ (i — ro, )ro;] = 2W,(i — gj,).
Cherchons maintenant la valeur de /, ,. Supposons que les écarts soient x^ et x., et qu'une nouvelle épreuve ait lieu.
A cette nouvelle épreuve il y a probabilité jo, pour que A, se produise seul ; alors a-, augmente de (i —ni,), a^^ diminue de gTo et le produit des écarts augmente de la quantité
roi ro.> — roi a', — ro^^ïi — ro» -i- .i-i. Il y a de même probabilité P2 pour que A, se produise seul; alors
a-, climiiuie de gj,, x-, augmente de (i — cTj) et le produit des écarts augmente do la (|uanti(é
iHi PTj — ra,.r, — nT,a-j — cTi -(- Xj.
Il y a probabilité (ps + O pour que les événements A, et Aj ne se produisent ni l'un ni l'autre; alors ,t, diminue de n,, ,rj diminue de îTJj. et le produit augmente de la quantité
Il V a probabilité q, pour que A, et A, se produisent simultanément; alors a-, diminue de tn,, x^ augmente de (i — ra,), et le produit augmente de la quantité
CTi W2 — BTjX, — CJ, JTj — Wj + X, .
Il Y a probabilité (/. pour que A, et A3 se produisent simultanément; alors X, augmente de (i — itt,), x., diminue de u.,, et le produit augmente de la quantité
CT| ^2 — CJ|Xj — ro^ J:") TïTj + X,,
Il y a probabilité (^3 -+- r) pour que A, et A2 se produisent simultanément; alors x^ augmente de (1 — ct,), x., augmente de (i — îtTj), et le produit augmente de la quantité
ro,Ttrj — 57, J"j — njj.r, — ro, — ra, -(- x, H- j"2 + i .
Le produit a;, x^ augmente donc en moyenne à chaque épreuve de la quantité
Pli^S^TSi — TO, X2 — TtS^Xi — CTj-t- .rj) -t-/?2(nT, ^2 — TS^X^ — 571^2 — ^l -H -^ \)
-+- {/'s H- t) (Winij — TOiX, — trTî-î'i) -)- yiC^î^i^î — raj.r, ,— rry, x,^ — ro, H- .r,) + qi{rSi'S!i — nJiXj — 5720-, — 5^2+ ^2)
-h ((73-t- r) (CT,CJ2 — OT|X2 — 572^^1 — ro, — raj H- X, 4- Xj -t- I ) ::= — nT,GJ2-t- 93-H ''•
On a donc, par définition,
X',,2 =— 2ro,ro2+ 2(73+ /•).
Pour résoudre le problème proposé, il suffit d'appliquer la formule du n° 571. La probabilité pour ([ue, en u. parties, les joueurs B,, B^, B3 perdent respectivement les sommes x,, x.,, x^, c'est-à-dire /a prohabilité pour que les écarts soient x,, x.^, i., en u. épreuves, est exprimée par la formule
■ djCi dx^ dx;
M désignant le déterminant
rîT,(i — ro,)
ro,roj
— CTiCJaH- 72 -H /■
ro.>roi — (73— r
ro,!
I — nj., )
- TS^uSi -h qi-\- r
JxSsTÏS,
vs^ii — m,)
c, est le déterminant obtenu en supprimant dans M la première ligne et la première colonne; c, s'obtient en supprimant la seconde ligne et la seconde colonne; c^ en supprimant la troisième ligne et la troisième colonne.
g, ,3 s'obtient en supprimant dans M la première ligne et la seconde colonne; ^,,3 s'obtient en supprimant la première ligne et la troisième colonne, et ^2. 3 ei supprimant la seconde ligne et la troisième colonne.
.576. Pour obtenir des formules simples nous avons résolu le problème des probabilités mêlées en supposant l'uniformité et en considérant seulement le cas de trois variables; la méthode employée est absolument générale et s'applique à tous les cas.
Si n événements A,, Ao, . . ., A„ sont possibles, ces événements ne s'excluant pas et les probabilités différant à chaque épreuve, on forme comme précédemment la probabilité totale 10,^, pour que l'événement A, se produise à la première épreuve; la probabilité totale T^^^., pour qu'il se produise à la deuxième, ..., la probabilité totale ni, .^ pour qu'il se produise à la a"''"*.
On forme de même les probabilités totales nr^,,, cja.s» •••> ^--.(i pouv que l'événement A, se produise à la première, la deuxième, . . ., la a""'" épreuve et les probabilités analogues pour les événements A3, . . ., A„. B. - I. 5i
402 I.. IIACIII'XII'.H.
Si. OU u. épreiivos, révonement A, so produit
CT|j -f- nj,,j + . . . -H ro,.^-!- r, fois;
l'évéïicinent Aj, ra^,, -i- cio,.. -h . .. -i- cij,^4- a-j fois ; ...; l'événement A„, cï„,, + nT„,j -!-...-(- ts„^y-h x„ fois, on dit que les écarts sont x,,
iC.,, . . . , 3"„.
Assimilant les écaris à des pertes à un jen, le pi'()l)lème(|ni consiste à chercher la probabilité d'écarts donnés n'est plus (ju'un cas particulier du problème général que nous avons résolu.
Après avoir généralisé la théorie des probabilités mêlées, il nous resterait à essayer de généraliser les résultats que nous avons obtenus dans le cas des probabilités connexes à deux variables. .l'abandonne au lecteur la recherche de ces généralisations.
