TT
i.a valeur la plus probable du plus petit angle est nulle.
La valeur probable du pluspetitangle est -^7(2 — v/2) = i7°environ.
On verrait de nii-nie que l'angle moyen d'un triangle tracé au hasard
a pourvaleur movenne -3- = 5o", pourvaleur probable -== = 52" envi- ' ' 18 t^ ' y/TÏÏ
ron et pour valeur la plus probable ^ == Go".
58(). Une des conclusions les plus importantes que nous puissions déduire des résultats précédents est la suivante :
Le triangle moyen a pour arif^les i i o", oo" et 20°.
Je ne ferai que citer les Ibéorèmes suivants :
La valeur movenne du carré d'un ani(le d'un triangle est -tt--
La valeur moyenne du produit de deux angles est — La valeur moyenne du produit des trois angles est -:-• La valeur moyenne du carré du plus grand angle est -:;-^' La valeur moyenne du carré de l'angle moyen est -^•
La valeur moyenne du carré du plus petit angle est -^
587. Si l'on assujettit les angles d'un triangle ii vérifier certaines conditions, les résultats qui précèdent sont nécessairement altérés; ils présentent d'ailleurs un intérêt beaucoup moindre.
Si, par exemple, le triangle doit être acutangle, la valeur moyenne du
carré d'un angle est -^, la valeur moyenne du produit de deux angles est -y-^ et la valeur moyenne du produit des trois angles est "—•
CALCUL DES PROBABILITÉS. /(Il
La valeur moyenne du plus grand angle est -^ = 80". La valeur moyenne de l'angle moyen est -^ = 65".
La valeur moyenne du plus petit angle est ^ = 35".
Lorsqu'un triangle est obtusangle, les valeurs moyennes de ses angles sont 120°, 45" et i5°.
riïvrrriiE xx.
l'UOHABlI.n Es GIN i;.M A riQURS.
ôSS. Nous (lisons (lu'iiii pioMi'iiu' est relatif aux probdhilités cinëmtiliques lors(|u'il consiste à étudier les déplacements d'un point ou d'un svsléinc, ces déplacements dépendant en totalité ou en partie du hasard.
Dans ce Cdiapitre nous traiterons deux questions; la [)reniière étudie le mouvement d'un point qui se déplace au hasard; la seconde est relative à un cas où le hasard n'agit pas seul.
Pour ces problèmes comme pour les suivants nous emploierons une méthode uniforme qui consiste à ramener la question proposée à notre théorie générale qui est une théorie du jeu; nous pourrons ainsi constater une fois de plus les grands avantages que présente à tous les points de vue la conception de Vunilé du calcul des probabilités.
Les formules que nous obtiendrons dans ce Chapitre et dans le suivant sont asymptotiques; il importe de le remarquer une fois pour toutes.
.■>89. Un point géométrique M est animé d'une vitesse v dont la grandeur est constante et dont la direction t^arie constamment au hasard. Le mouvement de M étant rapporté à trois axes rectangulaires passant par sa position initiale, quelle est la probabilité pour que, au bout du temps t, le point considéré ait pour coordonnées r, y, z ?
Suivant notre méthode générale, nous imaginons quatre joueurs A, B, C, D, et nous faisons correspondre chaque élément de temps à une partie de leur jeu considéré comme continu. Nous supposons que, à chaque partie, les joueurs perdent des sommes respectivement égales
CALCUL DES PUOItAlilLITÉS. 4l3
aux accroissement de jc, y, z, — x — y — z dans l'élément de temps correspondant.
Pendant un élément de temps, le point M subit un déplacement (v//! dans une direction (juelconque, toutes tes directions ayant é^ aie vraisemblance (c'est, par déQnition, ce qu'il faut entendre par le terme direction variant au hasard). Ce déplacemeut du point M ne dépend en rien des déplacements antérieurs ni de la position actuelle du point.
Soient \dt, r^dt, Çdt les projections du déplacement du point M pendant l'élément de temps dt; les valeurs moyennes de ?, •/), X. sont nulles par raison de symétrie. De l'égalité
on déduit, en désignant par VM la valeur moyenne,
et, comme ces valeurs moyennes sont égales par raison de symétrie, on a
VMt'=VMr,'=VMC'=y-
La valeur moyenne des produits '^r^, Hu, 'r^~, est nulle par raison de symétrie; à chaque valeur positive de \'r\ correspond une valeur négative de même probabilité.
Considérons maintenant le jeu de A; à une partie quelconque ce joueur perd une somme çrfnndépendante des faits antérieurs du jeu et de sa perte totale actuelle; son jeu admet donc l'indépendance; ce jeu est de plus équitable, puisque la valeur moyenne de H est nulle,
La valeur moyenne des carrés des pertes de A pour une partie est
La valeur moyenne du produit cjidt des pertes des joueurs A et B pour une partie est nulle.
Le jeu considéré de A, B, C, D admettant l'indépendance, le problème proposé qui consiste à chercher la probabilité pour que les joueurs A, B, C perdent respectivement les sommes a;, y, zanl parties est un cas particulier de celui qui a été résolu au n" 56.5; il suffit de calculer les fonctions o et y d'après les données du problème.
4l4 •■• BACIlELIEn.
o, est la fonction d'instabilité relative au jeu de A pour / parties; c'est le douille (11- la somme des valcursmoyennes des carrésdes pertes du joueur A pour chaque partie, c'est-à-dire la quantité
dans le cas général où la vitesse i> est une fonction arbitraire donnée du temps et la (juantité - «'-7 lorsque la vitesse i' est constante.
Les fonctions o., et 9., ont même valeur que 9,. Les fonctions y sont nulles; par exemple, y,^., est le double de la somme des valeurs moyennes des produits des pertes de A et B pour chaque partie, et ces valeurs moyennes sont nulles comme nous l'avons vu.
Remplaçant dans la formule générale du n° 565 les quantités cp par jt-'/ et les quantités y par zéro, on obtient la probabilité pour que les joueurs A. B, (] perdent les sommes r, y, ; en / parties, c'est-à-dire la prohabilité pour que, à l'époque t, les coordonnées du point mobile soient x, y, z :
tt^/ttI -^-e'^
— dj^ dy dz.
590. Lorsque la vitesse c, au lieu d'être constante, est une fonction arbitraire donnée du temps, la même probabilité a pour valeur
j dx dy dz.
59 1 . La probabilité pour que le point M se trouve à l'époque t à une distance r de son point de départ est
-^ -dr.
ir")'
La valeur moyenne de r est
^-=iv1^
La valeur moyenne quadratique de r est
dr
La valeur la plus probable de r s'obtient en annulant la dérivée par rapport à r de la probabilité; on trouve ainsi l/-<'"/-
Si l'on considère une surface sphérique infiniment mince de rayon
fixe r, la probabilité sur cette surface sphérique commence par croître
avec / jusqu'à ce que t — —■ Elle décroît ensuite, et, lorsque t = -^.
elle devient maxima relativement aux autres. Le maximum individuel précède le maximum relatif.
La probabilité pour que le point M soit en dehors de la sphère de rayon R est
dr.
Les valeurs de R qui correspondent à la même probabilité (écarts isoprobables) sont proportionnelles ài/^(^-/.
Cette dernière intégrale est de la forme / A-V 'V/X; elle se calcule
facilement à l'aide des Tables de la fonction 0; on a, en effet, en intégrant par parties,
Ce-'' d\ = >, e-> ' 4- A >,' e-"'- d\ ;
d'où
I,. lUCIIEI.IEU.
j '}}e--'' ,/X =- ^-' -+- ^ fe-^'
-^' dl.
La râleur probable de rosi la valeur de U pour laquelle l'intégrale ci-dessus a pour valeur-- En d'autres termes, cette valeur probable est la distance qui a autant de chances d'être ou de ne pas être dépassée il l'époque /; celte valeur probable est égale à 1,09 ... y-^^'^-
En résumé, dans le cas considéré, le point s'éloigne proportionnellement à la racine carrée du temj)s.
592. Si la vitesse était variable, les écarts croîtraient comme la quantité
Si la vitesse c décroit indéfiniment Iors(|ue t croit, les écarts peuvent ne pas croître indéfiniment et tendre, lorscjuc / augmente, vers une valeur asymptote.
Si, par exemple, c = > on a
V' dl :
la probabilité pour que le point M soil ii une distance /• à l'époque/ est
kr-
dr.
et, le temps croissant indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers la foi finale exprimée par la formule
dr.
CALCUL DES PnOBABILITÉS. /^l'J
593. Si le point M devait se mouvoir dans un plan contenant la vitesse r, la probabilité pour que, à l'époque /, le point M soit à une distance r de son point de départ serait
■ire ' ,
: dr.
Si le point M devait se mouvoir sur une ligne, la vitesse t" pouvant, à chaque instant, avec égale vraisemblance, être dirigée dans un sens ou dans l'autre, la probabilité pour que le point M soit, à l'époque f, à une distance x de son point de départ serait
dx.
594. Cas où le hasard n'agit pas seul. — Dans la question que nous allons étudier le hasard n'agit pas seul; le point géométrique considéré est animé d'un mouvement qui dépend de sa position actuelle. Le problème présentant quelque difficulté, nous étudierons d'abord le cas du mouvement dans un plan.
Un point M qui est mobile dans un plart est attiré par un point fixe 0 de ce plan proportionnellement à la distance. Indépendamment du mouvement dû à cette attraction, le point M est constamment animé d'une vitesses dont la grandeur est constante et dont la direction varie au hasard. Quelle est la probabilité pour que, au bout du temps t, le point M occupe une position donnée dans le plan .
Le point M est considéré comme dépourvu d'inertie.
H importe de bien préciser les conditions admises par l'énoncé. Soit, à l'époque /, O.M = r la distance du point M au point 0 ; dans l'intervalle de temps/, t -i- dt, le point M subit deux déplacements : l'un de grandeur vdt et de direction quelconque (toutes les directions étant également vraisemblables), et l'autre de grandeur a rr// (« étant une constante) dirigé suivant le rayon vecteur MO.
Le mouvement du point M ne dépend, h chaque instant, que de sa ilislance actuelle au point 0 et que de l'efîet actuel du hasard. U. — I. 53
Jl8 I.. ISACIIF.I.IKU.
l{a|t|)orfoi)s lo iiioiivcnioiif à deux axos roclangulairos passant par 0 ; soient a\,v, les coordonnées initiales du point M. .r, ^■ les coordonnées du même point ù l'époque l. Le problème considéré consiste à chercher la probabilité pour que les coordonnées du point M soient .r et K à l'époque / lorsqu'elles ont eu au début pour valeurs x, et j,.
Imaginons trois joueurs A, B, C., perdant, à chaque partie, des sommes respectivement égales aux accroissements de .r,r, — x—y pendant l'élément de temps correspondant ; le problème proposé peut s'énoncer ainsi : Les joueurs A. B, (] ayant initialement perdu les sommes ,r,,v,, qiielle est la probabilité pour (]ne, au bout de / parties, ils aient perdu les sommes x, y ?
(Leurs pertes pour ces i parties seraient donc x — x, et y — /,, si cette éventualité se réalisait.)
Supposons que. il rép()(|ue /, les coordonnées du point M soient. r et y et par suite que les pertes des joueurs A, B, (] soient x,y, — (^x-i-y); nous allons déterminer les espérances '\/,, '\/.,, t];,, et les fonctions d'instabilité 91,9^, O;, relatives aux jeux de A, B, C dans l'élément de temps suivant (ou, si l'on veut, pendant la partie suivante).
Étudions le déplacement du point M parallèlement à l'axe des x dans cet élément de temps ; le déplacement du au hasard s'effectuant indilleremment dans tous les sens ne fait pas varier, en moyenne, la coordonnée x. Du fait de ce déplacement, l'espérance mathématique des (rois joueurs est nulle. Le déplacement dû à l'attraction diminue la coordonnée x de la quantité aj:-, le joueur A gagne de ce l'ait la somme ax; son espérance mathématique pour l'élément de temps dl est donc ax.
Les espérances mathématiques des joueurs B et C sont de même ay et — a (x-\-y).
Les espérances sont donc proportionnelles aux pertes actuelles.
Occupons-nous des fonctions d'instabilité. Soit 0 l'angle du déplacement t'o'/ dû au hasard avec l'axe des j;; la probabilité pour que le hasard
produise l'angle 0 est — . et, si cette éventualité se réalise, la coordon-
néex augmente de la quantité v cos ô dans le temps c/(.
Le déplacement du à l'attraction diminuant pendant le même temps la coordonnée x de la quantité ax, l'accroissement total de cette coor-
donnée est i> cos 0 — ax et la valeur moyenne du carré de raccroissement est
((• COS 9 — axy (iS^^ — h a-x-
La fonction d'instabilité relative au joueur A et au même intervalle dl est le double de la valeur moyenne du carré de l'accroissement de ce diminué du double du carré de la valeur moyenne de cet accroissement ; cette fonction d'instabilité est donc
0, = 'il — -4- a-x' j — 2( — ax)-=z 1-.
La fonction d'instabilité relative au jeu de B a de même pour valeur v^. Pour obtenir la fonction d'instabilité relative au joueur C, on doit
remarquer qu'il y a probabilité -^ pour que ce joueur perde la somme
— i> cos 0 -i- av — (' sin 0 + ay et que, dans ces conditions, la fonction d'instabilité a pour valeur
' [( — rcosô -h ajr — fsin9-t- ayY — 2a-{x^ + y-)\—^^ =^ 2r-.
Les fonctions d'instabilité sont donc constantes.
Les fonctions d'instabilité étant constantes et les espérances étant proportionnelles aux pertes actuelles, le problème peut être résolu par la théorie des probabilités connexes et il suffit de lui appliquer la formule du n" 5.53.
La probabilité pour que les pertes des joueurs A et B soient x et r au bout de / parties quand elles ont eu initialement pour valeurs a^,, y, est
t.r — JT, e-"' \--h < >■— ji f
-al ,i
d.r dv.
ia
La probabilité pour que le point M qui a pour coordonnées initiales
/|20 I.. ItACIIEMEK.
.r, , )', , ait pour coordonnées r, y à iépoque t est exprimée par la formule
; (/x dy .
59."). l/iiillueiKC lies coorddniiées initiales va sans cesse en <liniinuant lorsque / augmente.
Lorsque ^ croit indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers la l(ii finale exprimée par la formule
-, (fj: dy.
La probabilité pour que, finalement, le point M se trouve à une distance du centre attractil'O comprise entre /• et r 4- dr est donnée par
la formule
2re ^ ,
La valeur moyenne finale de r est ^
La valeur moyenne quadratique finale de rest ^= ■
\/2a La valeur de r qui a finalement la plus grande probabilité est •
La valeur probable finale de r est o,<S'32... -^•
,)9(i. Supposons que le point M parte initialement du point 0; la probabilité pour que, à l'époque /, il se trouve à une distance de ce point comprise entre /• et r -+- dr est
ii-e -"
; dr.
CALCUL DES l'IiOBABILITÉS. 421
La valeur moyenne de r est — ^ i /
La valeur movenne quadratique de r est ^'\/ - La valeur la plus probable de r est --=v 1/
la
La valeur probable de r est o,832...i'\/
La probabilité pour que le point M soit en dehors du cercle de rayon Rest
tre -" —
^, dr-e '"
Cette probabilité tend vers la valeur finale e -" .
Les valeurs de R qui correspondent à la même probabilité (écarts
isoprobables) sont proportionnelles à vi/
597. Si le hasard agissait seul, a serait nul et la probabilité pour que le point M soit à la distance rdu point 0 serait
2re "'' ,
Les écarts croîtraient indéfiniment et proportionnellement à la racine carrée du temps.
L'effet du hasard est de tendre à éloigner le point M du point 0.
;ï9H. Cercle d'ailrac/ion. — Le hasard tend à éloigner le point M du point 0 alors que l'attraction l'en rapproche ; nous allons déterminer le rayon vecteur p pour lequel ces deux actions s'équivalent.
Soit r la distance du point M au point 0 ; calculons l'accroissement moyen de /• dans le temps c/t en supposant que le hasard agisse seul.
La probabilité pour que le déplacement vcù dû au hasard fasse un
dO
auffle 0 avec la ilroitc OM est — Si cette éventualité se réalise, le
point M vient (mi un point M' pour lequel on a
La valeur moyenne de OM', c'est-à-dire la valeur moyenne du rayon vecteur après le déplacement, est
\lr- -(- c' + 2 ri' cos 6
Le déplacement v étant très petit auprès de r, cette intégrale a pour valeur /• -f- 7--
Telle est la valeur moyenne du rayon vecteur r après le déplacement; comme elle avait primitivement pour valeur r, raccroissenieni
moyen de /• dû ;iu hasard pendant le temps di est j-jlt-
D'autre part, l'attraction diminuant r de la quantité «/•(//, les doux actions se neutralisent quand
Lorsque le point M est à l'intérieur du cercle de rayon p = , , — »
^ ^ •> ^ y ,,, yj^a
l'eflet du hasard l'emporte en moyenne sur l'attraction et le point M a une tendance à s'écarter du centre 0.
Au contraire, lorsque le point M est à l'extérieur du cercle de rayon p, l'effet de l'attraction prédomine en moyenne et le point a une tendance à se rapprocher du centre 0.
Tout se passe comme si la circonférence de rayon p attirait le point M ; d'où la dénomination de cercle d'attraction.
On peut remarquer que la valeur a été obtenue pour le rayon
auquel correspond la plus grande probabilité finale.
C'est donc au cercle d'attraction que correspond finalement la plus grande probabilité.
599. Un point M qui est mobile dans l'espace est attiré par un centre fixe 0 proportionnellement à ta distance. Indépendamment du mouve-
ment dû à cette attraction, le point M est constamment animé d' une vitesse i' dont la srandeur est constante et dont la direction varie au hasard. Quelle est la probabilité pour que, au bout du temps t, le point M occupe une position donnée dans l'espace ?
Le point M est considéré comme dépourvu d'inertie.
Tl importe de lîien préciser les conditions admises par l'énoncé : Soit, à l'époque /, OM =;• la distance du point M au point 0 ; dans l'intervalle de temps/, t -h dt le point M subit deux déplacements : l'un de grandeur vdt et de direction quelconque (toutes les directions étant également vraisemblables) et l'autre de grandeur ardt (a étanl une constante) dirigé suivant le rayon vecteur MO.
Le mouvement du point M ne dépend, à chaque instant, que de sa distance actuelle au point 0 et que de l'effet actuel du hasard.
Le problème doit être traité comme dans le cas du mouvement plan; mais, sa complication étant plus grande, nous n'exposerons pas l'analyse qui conduit à sa solution, et nous nous contenterons d'en faire connaître le résultat.
Rapportons le mouvement à trois axes rectangulaires passant par 0. La probabilité pour que le point M, qui a pour coordonnées initiales .r,,j',, z,, ait pour coordonnées a;, y, s à l'époque t est exprimée par la formule
5 dx dj dz.
599. L'influence des coordonnées initiales va sans cesse en diminuant lorsque / augmente.
Lorsque / croit indéfiniment, la distribution des probabilités tend vers la loi finale expriméi' par la formule
jdxdydz.
42'| I.. nAOïiKi.nii.
La [)r(ibal)ilit(' pour (iiie, linalenient, le point M se trouve à une distance du centre allractil' 0 comprise entre r cl r -\- dr est donnée par la l'ortmiie
• ar.
Vtt / ,
La valeur moyenne finale de r est --= —=•
La valeur movenne (luadratique finale de r est ^ ,
La valeur de r qui a finalement la plus grande probabilité est— ^•
La valeur probable finale de r est 1,09... -=•
600. Supposons que le point M parte initialement du point 0; la probabilité pour que, à l'époque t, il se trouve à une distance rde ce point est
-dr.
T I I 4 2 iVi — e
La valeur moyenne de /• est —^
La valeur moyenne quadratique de r est
v/2 \fï7i
La valeur la plus probable de r est ^-^
La valeur probable de r est de 1 ,o() . . . ''- — -=:;
\'Za
La probabilité pour que le point M soit en dehors de la sphère de
CALCUL DES l'IlOIJABlLlTÉS. 423
rayon R est
dr.
Les valeurs de Rqui correspondent à la même probabilité (écarts isoprobables) sont proportionnelles à c i/ — 5
Cette dernière intégrale est de la forme / A^ e~'^ (Tl; elle se calcule
facilement, comme nous l'avons vu (n" 391), à l'aide des tables de la fonction 0.
601. Si le liasard agissait seul, a serait nul et la probabilité pour que le point M soit à la distance r du centre 0 serait
-j= ^dr.
Les écarts croîtraient indéfiniment et proportionnellement à la racine carrée du temps.
L'effet du hasard est de tendre à éloigner le point 31 du centre 0.
602. Sphère d'attraction. — Le hasard tend à éloigner le point M du centre 0, alors que l'attraction l'en rapproche ; il est intéressant de déterminer la distance OM = p pour laquelle ces deux actions s'équivalent.
En raisonnant comme dans le cas du mouvement plan on obtient
pour valeur de 0 la quantité —=•
Lorsque le point M est à l'intérieur de la sphère de rayon p. l'elTet du hasard l'emporte, en moyenne, sur l'attraction et le point a une tendance à s'écarter du centre 0.
Au contraire, lorsque le point M est ii l'extérieur de la sphère de B. — I. 54
