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'i(>/| !.. UAnill'.I.IKU.
Posons encore
m\ = ix'p, + j\ ni'.,—.iJ.'p,~hJ-i. ..., ni'i,-=ni.' p„+ .r„;
.r,, .1;,, .... x„ sont les écarts apixiirnls.
Transformons l'expression l'aelorielle en exponentielle; elle devient
,|d..d....^li|
- V-' I /•• Ih l'n J
Si les événements avaient pour probabilités exactes Pi,p,, ..., /^,, la probabilité pour que les écarts soient a:,, ic^ x^ serait (n° G''i5)
(S1T.\t.) \lhl>l- ■ -l'n
L'ignorance où l'on est des valeurs exactes des prohahililcs augmente doncles c'carts dans le rapport de \ u-i- u.' ù \j]x.
Nous nous sommes placés dans l'bypothèse où ra; = i; mais, l(> nombie u. étant très grand, le résultat est indépendant de cette liypothèse.
Le théorème ci-dessus, l'un des plus importants du calcul des probabilités, exprime une loi pénultième; il est indépendant de toute hypotlii'se sur les valeurs initiales des probabilités.
Nous l'avons d'ailleurs démontré précédemment (n°G61) sans faire appel à la théorie des probabilités des causes.
693. Si ;ji n'est pas très grand et si la fonction cj est quelconque, la probabilité pour (|ue, en p.' nouvelles épreuves, le premier événement se produise rn^ fois, le second 7n., fois, ..., est
(/«', + ni'.,-^ . . .+ tn'„)\ rn\ ! «i!, ! . . . mjj!
/ j ■■■ j y -.-«'•■', j»--.+'"'= .. . . v;;'-'^ '"U. ( 1 — 7 , - . . .- ,)'„, )'"•■+'";. 5T (y, , J-, .}•„, ) dy, >lv„ . . . dy„^
I j ... j ..';•■■, V-' ... .1 '//" , ' ( I - j , - j, — . . . - j„, )'".. rs(y„ y, , j-„, ) c/j, dy., . . . >/y„ ,
CALCUL DES l'KOCAIilLITF.S. 5o5
Les deux intégrales sont de la même forme; elles doivent s'étendre à tous les systèmesde valeurs de v,, y, y„, tels ({ue
si la fonction or s'étend, comme nous le sii[)|toserons, à tous ces systèmes de valeurs.
SidephiscT estdéveloppable en série entière, chacune des intégrales est décomposable en une suite d'intégrales de Dirichlet el In prohaliilité est alors exprimée par le quotient de deux séries.
694. Problèmes divers. — Une urne contient a houles de n couleurs différentes; les unes sont blanches^ les autres noires, rouges, ..., vertes, on ignore en quelle proportion. On tire m, + Wo + . . .+ /n„ = ix boules de l'urne; «i, sont blanches, m., sont noires, — m„ sont vertes. Quelle est la probabilité pour que l'urne ail une composition donnée ?
On suppose que les u. boules sont extraites simultanément ou successivement, les boules extraites n'étant pas replacées dans l'urne.
Soitr7(V|.y^ fn)^^ probabilité a priori pour qu'il y ait dans
l'urne v, boules blanches, y., boules noires, •■ . /„ boules vertes (v, -hv.-h .... -hy„=a).
S'il y avait effectivement j, boules blanches, 72 boules noires, ..., la probabilité pour que, en m, -{-m.^ -\- ... -i-m„ = a tirages, il sorte m, boules blanches, m., boules noires, ... serait (n" 648)
//«,! /«j! .../«„! (y,— Wi)! (>-2—»i2)! (v,— /«„)! a!
La probabilité demandée est donc
ji!.)-:! ■■ .y„lw( y,. y, /„)
( Vi — '",)! (y- — /«,!...( r„ — m,,)! > v—^ —. -, = :
Le S s'étendant à toutes les valeurs entières de y,, y.,, ..., ,v„ telles que r, soit au moins égal à /«..v^ au moins égal ii///,. .-., et telles que
A cha(jue hypothèse faite sur la forme de la fonclion © correspond une valeur différente pour la probabilité cherchée.
■)0(> !.. lïACHF.IIF.n.
Nous supposerons d'abord (|U(' loulcs les compositions de l'urne sont a priori ég dément probables; ab)rs cr est constant et disparaît dans l'expression de la probabilité. Le 2 a pour valeur
(fi H-//— 1)1 (rt — fX)!
et la probabilité cherchée est
y,\ y-jl . . . v„l ilJ. -i- n — i)\ (a ~ iJ.)l
(y, — «1, ) I ( Vj — m, ) 1 . . . ( j„ — /«„ ) 1 //Il 1 /«2 ! ... m„ I ( (7 + /; — i ) !
La plus grande probabilité correspond au cas où
695. Si l'on cjfeclue a' nouveaux tirages, quelle est la probahilité pour obtenir Tïî^ boules blanches, rrî., boules noires, ...?
Si l'urne contenait y, boules blanches, y.^ boules noires, ..., après la sortie des [j. boules elle contient j, — m, boules blanches, v^ — m^
boules noires, La probabilité pour que, en ix' tirages, il sorte m'
boules blanches, rn'.^ boules noires, ... serait alors (n" 648)
IJ.'l (.v,-m,)l
(ji — m.,)l (Vh— w„)l ( g — p. — p.' ) !
(j,— /«,— «(„)! (r„— m„— m;.,)! (« — fx)!
Si l'on multiplie cette quantité par la probabilité a posteriori pour que les j aient respectivement pour valeurs y,, Vj, ..., v„ et si l'on fait la somme de tous les résultats analogues, on obtient, d'après les principes des probabilités composées et totales, la probabilité cherchée ; celle-ci a donc pour valeur
^'\(a-iJ.-ix')]iiJ.-^n-i))l
m\[ m'j ! ... /«î,! m, 1 m,! .../«„! {a -h ri — i )!
'^ (Ji -"'i — '«'i)!(r2— m^—m'^)] ...()•„— 77i„— /??'„)! Le Z s'étendant à tous les systèmes de valeurs de y,, Vo, ■•■,}'„ tels que
CALCUL DKS PROBABILITÉS. Soy
y, soit au moins égal à m, -\-m\, y., au moins ciiul ii //?. i- /;^,, ..., et tels que y, ■+■ r. + .... + y„ = a. Ce 2 a pour valeur
( w, + m', ) ! ( nij + ««5 ) I . . . ( m„ -H w^, ) ! ( a -H « — i ) !
(fJL + jjr'-l- /i — l)! (a|ji jj.')
i« probabilité cherchée est donc
p.'l (|ui-i-« — i)! (w, + /?;',)! (/?<2-)- 7«',1! ... (/N„+ /«;,)!
Cette probabilité est indépendante de a; elle a même valeur que si a était infini. Si a était infini, la probabilité a priori d'extraire une boule de couleur donnée serait la même à chaque tirage et l'on serait ramené au problème du n° 691. La dernière formule que nous venons d'obtenir est d'ailleurs identique à celle du n° 691.
696. Ce résultat curieux demande une explication. Supposons qu'une urne B renferme b boules de diverses couleurs et supposons qu'on tire au hasard a boules de cette urne pour les placer dans une seconde urne A.
La probabilité d'extraire m, boules blanches, m., boules noires, ... de A est évidemment la même que celle d'extraire ces mêmes nombres de boules de l'urne B quand celle-ci contient encore b boules.
Lorsqu'on extrait, de l'urne A, m, boules blanches, m.^ boules noires, ..., on obtient relativement, à la sortie des boules suivantes de cette urne, le même renseignement qu'on aurait obtenu pour la sortie des boules suivantes de l'urne B si l'on supposait que celte urne ait renfermé b boules et qu'on en ait extrait m, blanches, m.^ noires, ....
Lorsque toutes les compositions de l'urne B sont a priori également vraisemblables, celles de l'urne A le sont aussi.
Nous avons supposé que toutes les compositions de l'urne A étaient (7 /j/70/7 également vraisemblables; nous pouvons donc supposer que cette urne a été remplie en tirant a boules au hasard dans une urne B contenant un nombre arbitraire b de boules, toutes les compositions de cette urne B étant a priori également vraisemblables.
Si de l'urne A on extrait /?z, boules blanches, w., boules noires, ..., le renseignement qu'on obtient pour la sortie des boules suivantes
'ï<)8 I.. nvr.iiFLiKu.
est le mémo que s'il s'agissail de j'iiriie B (|uan(l elle eonlienl h limiles, il est donc iiidepeiulanl du uouibre des boules contenues dans rucue.
()il7. Considérons le cas où ii, \x et ix' sont grands; posons — ' =/»,, — = p.i, ...: posons également
or,, r.^, ... sont les écarts.
Transforniaut alors l'exjjression faclorielle de la probabilité en expression exponentielle, on obtient la prohabilité pour (jue les écarts soient x^, x.^, ...,x„; c'est
'^^^)" 'v^^^TTTTT;
Si l'on savait (|ue l'urne contient exactement a — u. boules dont — ^(« — a) blanches, — ■'('"'— \>-) noires, ..., la prohabilité pour (|ni' les écarts soient Xy, .v.^, ..., x^ après a' tirages serait ( n ' 6'i9)
L'ignorance où l'on est de la composition exacte de l'urne augmente
donc les écarts dans le rapport de \(^- + K) {^' ~ [^ ' '' V ,"•(« ~ !^- ~ H"-')- 698. Nous avons supposé que toutes les compositions de l'urne étaient a /^/7'o/7' également probables ; on peut résoudre les mêmes questions en supposant que l'urne ait été remplie en tirant au hasard la couleur des boules avec la probabilité /^ pour les blanches,/;^ pour les noires, etc.
On peut obtenir sans grande difficulté la prohabilité a posleriori pour que l'urne ait une composition donnée, puis la probabilité pour que, si l'on effectue ^' nouveaux tirages (toujours sans remettre les
CALCUL DES PROBABILITÉS. SoQ
boules), on obtienne m[ boules blanches, w, boules noires, .... Pour ce dernier problème on est comluit à cette conclusion; c'est que la probabilité a même valeur que si l'on avait tiré directement les ij.' boules avec la probabilité/), pour les blanches, /^o pour les noires, .... Pour expliquer ce l'ait, il sutlit de reprendre un raisoniieniont précédemment employé (n" 696). L'urne A est remplie en tirant au hasard a boules d'une urne B qui en contient une infinité, les nombres des boules blanches, noires, ... de cette urne B étant proportionnels à
Pi'P^
Lorsqu'on extrait, de l'urne A, m, boules blanches, m., boules
noires, ..., on obtient relativement à la sortie des boules suivantes le même renseignement que s'il s'agissait de l'urne B. Cette dernière urne étant infinie, les sorties antérieures n'influent en rien sur les probabilités relatives aux tirages futurs; il en est donc de même quand il s'agit de l'urne A.
On peut aller plus loin et calculer la probabilité a posteriori pour que l'urne A ait une composition donnée sans avoir recours à la théorie de Improbabilité des causes. L'urne A étant remplie comme il a été dit, le fait d'avoir extrait de cette urne /n, boules blanches, m., boules noires, .... w„ boules vertes ne change en rien les probabilités relatives aux a — m, — m, — ... — m„ autres boules; la probabilité |)(>iir que, parmi celles-ci, il y ait z, boules blanches, z.^ boules noires, ..., s„ boules vertes (s, + s. -+-... -h :„ = a — m, — m^— ... — m„) est donc, a posteriori comme a priori,
(ri — m, — ///, — ... — III,, ) ! . .
^ hrrf — —^ P'>'''^' ■ ■ ■ /'""•
Telle est la probabilité a /)05/en"o/i pour que l'urne renferme m, -h :■, boules blanches, m. -'- z., boules noires, ....
699. Une urne contient un très grand nombre a de boules de n couleurs différentes, blanches, noires., ..., vertes, dans une proportion inconnue.
L'urne a été remplie rn tirant les boules au hasard avec la probabilité p^ piiur les blanches, p., pour les noires, .... p„ pour les rertes.
On tire successivement a boules de l'urne en remettant après chaque
5lO !.. IIAC.IIKLIER.
tirage la hoidc sortie. On obtient m, boules hin mîtes, tn.. boules noires, ..., /«„ boules vertes. Quelle est la probabilité pour que fume ait une composition donnée ?
\.\\ probabilité a priori pour (jue l'urne renfernic ap^ + Zy boules
blanclies, ap„ -\- z.^ boules noires ap„ -h z„ boules vertes est
(\/2 7ra)"~' \f/hPl- ■ Pn
Dans ces conditions, la probabilité pour extraire une blanche est ''^' "*""', pour extraire une noire — — -^ ...,otla probabilité de l'événement observé est
1 j (««1, — tJL(np,-(-:|il' |a»i, --[i(n/), + J. Il' |
V/a(\/27TfIâ)" \l{api + zi)(api+ z^). . .
a étant un très grand nombre, -,,s., .... -„ sont très petits auprès de ap,, ap.,, ...,ap„.
Négligeant les termes en z dans le dénominateur de l'exponentielle, l'expression ci-dessus peut s'écrire
1 ) |./m, — lJ. («/), + =, 11' \nint-]X{np, + :, i|' (
a" (v/aTtfl)""' \JpiPi. ..pn
et la probabilité demandée a pour valeur
Occupons-nous de riutegrale. Posons
Les M sont du même ordre que les z si u. est très grand et du même ordre que a.
CALCUL nr.S PROnARILITFS. 5ii
L'intégrale devient
En posant
au.^
elle se réduit à
(v/jTT^)"-
rfr), (Yr)2 . . ■ dn„i.
La somme des y] étant nulle, cette dernière intégrale a pour valtnir, d'après la formule du n" 647,
«"-'(V 2-)""' \'p,JK . ..pn.
L'intégrale a donc pour valeur
a V 2 TT \ /
, V iJ--h a OU
VPiPi-- PnC
r-^^ \P,ï>,-.Pne
\ y jm -f- « /
et /rt prohabilité cherchée pour que l'urne renferme ap, 4- ^, boules blanches, ap., -+- z., boules noires. ... est
^ a \fîn / \lpiPi. ■ -Pu
La plus grande probabilité a lieu pour
a{nu — np,) a{m^—fj.p.)
rt-t-p. ' a \- n
'00. Désignons par P, la probabilité pour que, si l'on fait un tirage,
5l2 I. llACIIKI.ir.K.
il sorlo lie riinie une Ixiiilc l)laiiclii', par l'. la proliabililc concspondaiilo poiif uni' boiilo noire, olc. Si les écarts sont :-i, :■■., ... les probabilités P,. P,. ... sont-
La plus 1,'raiulr pr(>l)al)ili(é a pDSlcrlori w lien (|uaii(l rt(w, — fx/7|) a(iiii— ij.p,)
c'esl-à-dire ([iiand les quantités P,, P., ... ont les valeurs P,, P., ... dillèrenl peu deP,', PJ, ....Posons
l>,nz:P,-H£,, !>,= ?, + £.,
On en déduit
a 4- p. a a -I- fA
Remplaçant alors, dans l'expression de la probabilité a posteriori, les :■ par les c, on obtient
(\p^T'\!piP-,. ■ -Pn
Telle est la probabilité pour (juc P, ait la valeur P,' -(- £,, I*. la valeur
Pj4-£, ....
701 . Si l'on ell'eclue [>.' nouveaux tirages (toujours en remettant après cha(|ue tirage la boule sortie), la probabilité pour obtenir [j.'P,' 4- o;, boules blanches, u.'P.! + x., boules noires, ..., c'est-à-dire la probabilité pour que les écarts soient. r,, .v.,, ...,.r„, a pour expression
