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dans ivimt lese où vn(y) i i v ; cette prolialiilile est

Lnrs(|iie ni ■-- loo, elle a |)our valeur o,')2 5; lors(|ue m--- loooo, elle a pour valeur o,5oo2; elle est donc très proche de la valeur asymptote o.ôooo obtenue dans l'Iiypothèse où cî = i.

()<S8. Les lois finales et pénultièmes ne sont vraies (|ue si ions les cas possibles se sont produits un grand nombre de l'ois. Sur 'iooo épreuves un événement ne s'est jamais produit; (luelb; est la pndtabilité pour qu'il se produise à l'épreuve suivante ?

Nous n'en savons rien ; nous pouvons affirmer que cette probabilité est petite; mais il ne nous est pas |)ossible de donner un chid're sans faire une hypothèse sur les jjrobabilités (i priori. Suivant que nous adopterons telle ou telle hypothèse, le résultat sera absolument diil'érent.

Sur 'iooo é|»reuves un événement s'est pioduit looo fois: quelle est la probabilité pour qu'il se produise à l'épreuve suivante ?

Cette probabilité est nécessairement très voisine de -■

La différence capitale qui existe entre ces deux derniers problèmes semble indiquée par le bon sens.

(i89. Le bon sens est par contre insuffisant pour apprécier les probaiiifités lors(|ue tous les cas possibles ne se sont pas produits un grand miuibre de foi-; : nous allons le prouver par un exemple.

L'événement A s'est produit deux fois en cinq épreuves et l'événement contraire B, trois Ibis. Si l'on fait une nouvelle épreuve, la prohabilité pour que l'événenienl A se produise (n'M>80) est -; elle est

plus petite (|ue -• La pioiiahilité pour que l'événement A se produise

quatre fois si l'on fait (jualrc nouvelle;^ épreuves est —;

Si l'événement A avait pour probabilité -. la |)robahilite pour qu'il

CALCUL DKS PROBABILITÉS. 30I

se produise quatre l'ois de suite serait --., elle serait donc plus petite

que — • Ce résultat semble paradoxal.

Dans le premier cas, le t'ait observé n'exclut pas d'une laçon absolue l'hvpothi^se où l'événement A serait plus probable que l'événement B. Dans le second cas, au contraire, cette hypothèse est exclue par définition ; c'est ce qui ex|)li(|ue le paradoxe.

Pour bien saisir la différence qui existe entre les deux cas, analysons la méthode qui conduit, pour la valeur de la probabilité, à la fraction — ■

La probabilité pour que révénement A se produise quatre t'ois de suite est, d'après le principe des probabilités composées, égale au produit de la probabilité pour qu'il se produise à la première épreuve multipliée par la probabilité pour qu'il se produise à la seconde épreuve quand on sait qu'il s'est produit h la première, multipliée par la probabilité pour qu'il se produise à la troisième épreuve quand on sait qu'il s'est produit aux deux précédentes, multipliée enfin par la probabilité pour qu'il se produise à la quatrième épreuve quand on sait qu'il s'est produit aux trois autres.

Dans le premier cas, la probabilité est donc égale an produit

La seconde fraction, ^j exprime la probabilité pour (|ue l'événement A se produise à l'épreuve suivante quand on sait qu'il s'est produit trois fois en six épreuves; - est la probabilité pour (]ue l'événement A se produise à l'épreuve suivante (juand on sait (|u'il s'est produit quatre fois en sept épreuves; — est la probabilité pour ([ue l'événement se pr-oduise quand on sait qu'il s'est produit cinq fois en huit épreuves. Parmi les quatre fractions, la première est inférieure à -y mais les

deux dernières sont supérieures ii - C'est ainsi que, dans l'ensemble, les conditions du problème supposent à l'événement A une probabilité supérieure ii -■

002 !.. lîMIIll.lKK.

(iOO. Cas où il y a plusieurs variables. - Iwi [j. épreuves, l'événement A, s'est pro luit m, fois ; l'événement X,, m^ fois : . . . ; l'événement X^, m„ fois. Quelle est la prolnthilité pour que, en <x' nouvelles épreuves, les événements se produisent suivant une loi donnée ?

On suppose quo les événements s'excluent, que l'un quelconque d'entre eux se produit nécessairement ii clia(|ue épreuve et que toutes les épreuves passées ou futures sont identiques.

SoitX(y,, Vj .Vn-i) la probabilité a posteriori j)our (|ue les événements considérés aient pour probabilités respect ivesj,,jo, ..., y„,.

Soit 4' (.Vo.Vi. •••v.v„ I, u^ ) la probabilité pour (jue, en fi' épreuves, les événements se produisent suivant la loi donnée quand les probabilités de ces événements sont j,,.)'::» •■•' yn-\-

La probabilité pour qu'on obtienne les valeurs jM.y^. •••■, .Yn-i et pour que les événements se produisent suivant la loi donnée est, d'après le principe des probabilités composées,

/■(/.■ V2 y«-i)|(.yi.y2 — ,. ■»•«-! -f^')"^/!^'/.!- ••'(''«-> •

D'après le principe des probabilités totales, la probabilité cherchée est la somme des quantités analogues pour l'ensemble des valeurs de y^,y■•., ..-, Jn-i qui satisfont à la loi donnée; cette probabilité est donc exprimée par la formule

qu'on peut aussi écrire en remplaçant A par sa valeur (n" 674) f [■ • • fr'i'J'"'-- •/'"^î'(i - vi - j.-. ■ .-,y«-.)"'"nT'^ <>i <y2 ■ ■■^/r,,.,

fj ' ' ■/ ^""•^"' • ■ ■•^''-^' ( ' - .Xt - J'2 - • • - y«-< )'"" '^ dy, rfy, . . . dy„,

L'intégrale du numérateur est relative aux systèmes de valeurs de Y,, y.,, . ., y„-i tlue rendent possibles la forme de la fonction ci et la loi exprimée par la fonction ■\i.

L'intégrale du dénominateur s'étend aux systèmes de valeurs que rend possibles la forme de la fonction gî.

Lorsque ro = i, l'expression de la probabilité se réduit à

691. En u. épreuves, l'événement A, s'est produit m, fois ; l'événement Aj, m^fois; ... ; l'événement A„, m„ fois. Quelle est la probabilité pour que, en p.' nouvelles épreuves, l'événement A, se produise m\ fois; l'événement A^, m., fois ; ... ; l'événement A„, /n'„ fois?

Nous nous plaçons dans l'hypothèse où ra= i. On a, dans le cas considéré,

(/»', + m,~{-. . .+ m'„) /«', ! ni\ ! . . . /«;, !

La probabilité est donc

( /«, -f- /«., + . . . H- /»„ -f- // — I ) ! (in', + ni'.,-h . . . + ni'„)l

in, ! in.,l . . . ni. !

l'intégration s'étendant à toutes les valeurs telles que

La probabilité cherchée est donc

{nii-h 'n,-h ■ . . + rn,^-ir 'I — i)! ^ (/»',-+- /«^ ^- ...+ /«',) ! m, ! /«2 ! . . . /n,i ! /« ', ! m'.^ !.../"„!

(/«,-!- /«', ) ! { m, -\- ni',)'. . . .{ nia -+- m',, ) !

{nii -h m, -h m.2-h m,-\- . . .-^ ni,^-h m„+ /> — \)\

La probabilité pour (fue l'événement A, se produise si l'on fait une seule épreuve est — ; elle est très voisine de — '■ lorsciue u. est un

' [j.-i-n' ij. ' '

grand nombre.

692. Supposons que m,, tu. ///„, in\, m'.,, .... in\^ soient de grands

nombres; posons

=P\^ ~ IJi- •• ' =Pn-