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On pourrait imaginer des cas plus compliqués où les fonctions C seraient soumises à l'effet du hasard ; ces problèmes se traiteraient
1()2 I.. ISACUKI.Il'.li.
cominc le prrccMlciU cm raniciiaiit la qucslioii pioposoe à une (iiiestioii t'(]iiivalon(e relative à un jeu.
Pour donner une application de la formule précédente, supposons que les épreuves soient seniMaMes et (|ne pour clwuiue épreuve tontes les valeurs de la probabilité de l'événemenl soient également vraisemblables.
Dans ces conditions, '^ = i et la probabilité pour que l'événement se produise - fois en a épreuves est
dz.
La valeur la |)his probable de :; est - comme si i» ciiaque épreuve l'événement avait pour probabilité - , mais les écarts sont différents; ils sont réduits dans le rapport de -:^ à -=•
287. Applications diverses. — La formule qui exprime la probabilité élémentaire du premier genre ou probabilité pour qu'un joueur perde la somme x an \i. parties (n° 2.31)
dx ^ — — , dx.
v/7rv/2L-(E;-<^')] \/7r s/Iô^
et qui nous a permis de résoudre d'une façon très simple le problème des épreuves répétées non uniformes est susceptible d'un grand nombre d'applications; elle exprime en effet \a probahi'ité pour qu'une somme ait une valeur donnée quand on connaît les proJxihilités relatives à chacune des quantités qui composent cette somme.
Nous allons étudier quelques applications en supposant toujours que le nombre des épreuves est très grand ; la méthode que nous allons emplover est absolument générale, elle consiste à assimiler chaque question à un problème analogue relatif à un jeu.
CALCLL DES PUOBABILITES. IC)3
288. Lorsqu'on mesure plusieurs fois une grandeur qui dépend d'une seule variable, pour iixer les idées, une longueur, on obtient des chiffres plus ou moins dillérents. La dill'érence entre la longueur exacte (qui est généralement inconnue) et la longueur mesurée à la jieme obscrvation est dite l'erreur de l'observation.
Supposons que, à la /"'■"*' observation, il y ait probabilité 'Çi{u)du pour que l'erreur soit //, la quantité « pouvant varier, par exemple, entre — £, et -+- z\ de sorte que
C 't,(u)da = i
Quelle est la probabilité pour que, en [jl observations, la somme des erreurs ait une valeur donnée x?
La méthode que nous emploierons pour ce problème et pour les suivants est uniforme : nous imaginons un joueur H, nous faisons correspondre chacune des parties de son jeu ii chacune des observations et nous supposons que ce joueur H perd, à chaque partie, une somme égale à la valeur de l'erreur commise à l'observation correspondante. La somme des erreurs pour u. observations est la somme totale perdue par le joueur H en u. parties.
La probabilité pour (jiie la somme des erreurs des a observations soit a; est la probabilité pour que le joueur H perde la somme x en jouant ij. parties.
A la /'""*" partie, le joueur H a la probabilité Z,i(u)du pour perdre la somme u, son espérance pour cette partie est donc
.},= >::, = — I u ti{u)du.
«' — Ej
La fonction d'instabilité est de même
La formule du n" -287 fait alors connaître la probabilité pour (]ue le joueur H perde la somme iT en a parties ou pour que la somine des erreurs soitir en a observations.
1()'| 1,. l:\(.lll,l,IKU.
289. I.a quantité — 4*1 '-'^' ''''•' \'i'''''('ii'' systématique de la /'""' observation, c'est la valeur moyenne des erreurs pour celte ol)seivalion.
On dit (|ue les observations sont d'égale précision quand le jeu correspondanl est uniforme.
On dit (juc les erreurs sont uniquement y"o/7ui7« ou accidentelles (|iiand les (juantités ^j/ sont nulles, c'est-à-dire quand le jeu correspondant est équitable. La probabilité pour que la somme des erreurs soit X dans le cas où les erreurs sont seulement accidentelles est
î,{ " ) dit - t.
— rtr
11^ Ç,( II) du
290. Si les observations (c'est-à-dire les mesures") sont d'égale précision et les erreurs uni([uement fortuites, la |irobabililé pour que la somme des erreurs soit x est
? \i.iit^ ^\ii\ lin
s/t.K^ -i^j. i ii'-i,{ii)du
•291. Si les observations sont d'égale précision, les erreurs uniquement accidentelles et si la loi d'erreur est exprimée par la formule
la (juantité k est dite le coefficient de précision ou simplement la précision de l'observation. La probabilité pour que la somme des erreurs soita^ en u. observations est
ke ^
\/r.\fil
djc.
(Jette dernière fornxule est une conséquence rigoureuse de la précédente, même si le nombre u. des observations est petit (n" 234).
292. Quelle est la probabilité pour que la moyenne arithmétique des erreurs ait une valeur donnée y ?
Si la moyonne arithmétique des erreurs est y, la somme des erreurs est ajK; si l'on se place dans les mêmes conditions qu'au n° 289, la probabilité demandée est
^2 1 l<'^,/ll</«
293. Si les observations sont d'égale précision et si les erreurs sont uniquement fortuites (n" 290'i, la probabilité pour gue la moyenne arithmétique des erreurs ait pour valeur jk est
V^t: 1/2 / u-t{u) du
L'amplitude des écarts est mesurée par la quantité
t /a I II' ^( II) du
elle varie en raison inverse de la racine carrée du nombre des observations.
Quand les observations sont d'égale précision, l'erreur commise en prenant pour valeur de la quantité mesurée la moyenne arithmétique des mesures varie en raison inverse de la racine carrée du nombre des observations.
294. Ce résultat suppose que le nombre u. des observations est très grand, sauf dans le cas où la fonction ^(m) est de la forme (291).
iq(3 1.. nAciiiaiEK.
Otte forme parai! |tarliciiliore, elle exprime cependant la loi des erreurs dans la |)hipart des cas.
l'onr le démoiilrer on se base sur une liypdllii'so : on suppose (]ue r.TiiMir lie l'observation est la résullanle d'une grande quantité d'erreurs inlinitésimalcs indépendantes; alors l'erreur observées est la somme des erreurs infinitésimales comme la perle totale d'un joueur est la somme de ses [X'rtes pour chaque partie. La probabilité de la perte d'un joueur affecte la forme exponentielle quand le nond>re des parties jouées est très grand, dtmc la probabilité de l'erreur aifectera laformi' exponentielle.
L'hypothèse de la décomposition des erreurs parait très plausible mais elle n'est pas nécessairement toujours vraie.
La formule précédente suppose que les erreurs infinitésimales se
compensent en moyenne; s'il n'en était pas ainsi, il résulterait de leur
superposition une erreur systématique c et la probabilité de l'erreur a
serait
■29.). Quelle est la probcihilité pour que la somme des râleurs absolues des erreurs ait une valeur donnée x ?
SuivanI noire méthode générale, supposons qu'un joueur H perde à chaque partie une somme égale à la valeur absolue de l'erreur commise il l'observation correspondante, la probabilité cherchée est la probabilité pour que, en [x parties, le joueur perde la somme jt.
lMa(,'ons-nous, pour fixer les idées, dans l'hypothèse du n" 291 ; la probabilité pour que le joueur perde la somme u en jouant une seule partie est
L'espérance du joueur H pour une partie est
ij;, =: — / —=e * " Il du = — •
La fonction d'instabilité est
f lle''-"'u' du - \ r" iie-'""« du C
La probabilité demandée est donc
La valeur la plus probable de la somme des valeurs absolues des reurs est -^, 1'; rée par la quantité
erreurs est -^i l'amplitude des écarts en plus ou en moins est mesu
ks/Tz
296. Quelle est la prohabilité pour que la somme des carrés des erreurs ait une valeur donnée x?
Suivant notre méthode générale, supposons qu'un joueur H perde à cha<juo partie une somme égale au carré de l'erreur commise à l'observation correspondante, la probabilité cherchée est la probabilité pour que le joueur H perde la somme .r en a parties.
Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans l'hypothèse du n"29l, le joueur avant probabilité
pour perdre la somme u- en jouant une seule partie, son espérance mathématique est
la fonction d'instabilité est
Ol
La probabilité demandée est donc
dx.
IC)8 1-- lUCIIELIER.
La valt'iir la plus probable de la somme des carrés des erreurs est —^
297. Dans la théorie du lira la cible (ou du moins dans le cas le plus simple ({u'éludie celle ihéorie), on suppose (jue la prubabililé pour«jue le projectile atteigne la cible à une dislance r du centre de celle-ci est donnée par la formule
2 /.Je-*'' Vf//-,
