L'écart moyen a pour valeur

Sj ~^ =o,5642 ...s/ilpq,

r()0 !.. B\CIIF-I.IF.R.

l'ocart quadratique est N-Z'y et l'écart piolialilc rst o,\'^{)()']... \ïiLpq. Plus gcliéraloment, considérons l'écart ± .i- tel (|U(' la probabilité pour que l'écart soil inléiiciir ii .r soil égale à une (|uanlilr donnée //; on doit avoir

L'intervalle ±x est proportionnel à la racine carrée de -pq- Or l-pq ne peut que croître avec le nombre des épreuves; donc :

Les écarts vont en croissant.

Si le nombre des épreuves augmente à l'intini, deux cas sont à distinguer:

Si l//<7 croit indéfiniment, les écarts isoprobables augmentent à l'infini et ils décroissent indéfiniment en valeur relative.

Pour le démontrer, il faut prouver que -/> devient inliniment grand relativement à \ -/jc/.

Puisque \^pq devient infini, "Lpq devient infiniment grand par rapport à lui ; or l'inégalité

:Lpq = i/j(i — p) = lp - l/r-<lp

montre que l/> est supérieur à Xyjy, donc ySyoy devient infiniment petit relativement à -/j.

Les écarts étant proportionnels à \ -/'y deviennent donc infiniment petits relativement à Zp. C'est une généralisation du théorème de Bernoulli(n"268).

Si 2-/jy tend vers une limite fixe a, la loi de la distribution des probabilités s'approche indéfiniment de la loi asymptote

\/7: yja

28G. L'analyse précédente et ses conclusions s'appliquent également au cas où les probabilités/), ne sont pas données exactement et où leurs valeurs dépendent du hasard.

Supposons par exemple que, à la i'""'^ épreuve, il y ait probabilité

CALCUL DES PUOIiAlilLlTLS. I f) I

ZÇv^dv pour que la probabilité de l'événement soit p; on doit nécessairenient avoir

Quelle est la probabilité pour que l'événement se produise z t'ois en [i. épreuves?

Supposons qu'un joueur H perde i fr chaque fois que l'événement se produit et qu'il ne perde rien quand l'événement ne se produit pas; la probabilité elierchée est la probabilité pour que ce joueur pei'de z francs en u. parties.

Cette probabilité est donnée par la formule n" 23 1 ; il suffit de calculer l'espérance é", du joueur H et la fonction d'instabilité 2('E,- — >i',-) de son jeu à la /'"'"' partie.

Il y a probabilité 'C,(p)c?p pour que la probabilité de l'événement soit V et par suite pour que l'espérance du joueur H soit — v et la fonction d'instabilité de son jeu, 2v(i — i>); l'espérance du joueur H est donc

i",-- f ^'K,{v)dv.

La fonction d'instabilité est de même

La probabilité pour que le joueur H perde z francs en a parties, c'està-dire la probabilité pour que l'événement se produise - fois en \t. épreuves est donc

clz.